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专题跟踪突破四 压轴题(2)――四边形
在半径为R的半圆0内,画出两个正方形 ABCD和正方形DEFG,使得A,D,E 都在直线MN上,B, F都在半圆弧上.请你解答下列问题:
(1)如图1,当C, G重合时,求两个正方形的面积和 S;
(2)如图2,当点C在半圆弧上时,求两个正方形的面积和 S.
图1
图1 圈2
解:⑴如图1,连接MB , MN,设正方形ABCD的边为a, /? AM = R— a, AN = R+ a, ?/ MN 是半圆 0 的直径,BA 丄 MN , / ABN = 90° , a AB 2= AM- AN, 贝U a2= (R — a)(R + a), ? a2= R2— a2, a2a2 = R2,即 S= R2 (2)如图 2,连接 MB , MN ,依题意有,AB2 =
a a a 2 a a 2 a 2
AM- AN,贝U OA = OD = ?, ? AM = R — ^, AN = R+ -, ? a = (R — ?)(R + ?)= R — (?),
? a2 + (f)2=
? a2 + (f)2= R2,
如图 1,已知 RtAABC 中,/ C= 90° , AC = 8 cm, BC = 6 cm,点 P 由 B 出发沿 BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均 为2 cm/s,以AQ , PQ为边作平行四边形 AQPB ,连接DQ ,交AB于点E,设运动时间为 t(单位:s)(0< tw 4).请你解答下列问题: 21世纪教育网版权所有
用含t的代数式表示 AE = _5—__;
当t为何值时,DQ = AP;
⑶如图2,当t为何值时,平行四边形AQPD为菱形.
解:(1)如图 1,依题意有,AQ = 2t, BP= 2t, ?/ AB = 10 , /? AP = 10 - 2t, /? AE = 5-1
⑵如实验用图,当DQ = AP时,四边形AQPD为矩形,则厶APQsABC,
AP _ AQ AB — AC,形时,DQ 丄AP, / AEQ = ACB = 90° ,cos/ EAQ =AEAqACAB,由三角函数的定义有专二猪,解得=辛,解得t
AP _ AQ AB — AC,
形时,DQ 丄AP, / AEQ = ACB = 90° ,
cos/ EAQ =
AE
Aq
AC
AB,
由三角函数的定义有
专二猪,解得
⑶如图③,现有一块半径 R=
⑶如图③,现有一块半径 R=6的半圆形钢板,是否可以裁出一边落在 大的矩形?若存在,请求出这个矩形的面积;若不存在 ,说明理由.
① ② ③
解:(1)如图①,△ ACB为满足条件的面积最大的正三角形
(2009陕西)问题探究
⑴在图①的半径为 R的半圆O内(含弧),画出一边落在直径 MN上的面积最大的正三
角形,并求出这个正三角形的面积. 21
(2)在图②的半径为 R的半圆O内(含弧),画出一边落在直径 MN上的面积最大的正方
形,并求出这个正方形的面积.
问题解决
MN上的面积最
连接OC,则
OCX AB. V AB = 20C?tan30°? S^ acb =;AB?OC = 1x ^33
OCX AB. V AB = 20C?tan30°
②,正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形 , 连接OA,令OB = a,则AB = 2a.