八年级数学期末考试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1.要使分式 有意义，x的取值范围满足（ ）
A.x=0 B.x≠0 C.x>0 D.x<0
2.下列各式中能用平方差公式是（ ）
A.（x+y）（y+x） B.（x+y）（y﹣x） C.（x+y）（﹣y﹣x） D.（﹣x+y）（y﹣x）
3.下列计算结果正确的是（ ）
A.x•x2=x2 B.（x5）3=x8 C.（ab）3=a3b3 D.a6÷a2=a3
4.下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（ ）
A.3，3，3 B.3，4，5 C.5，6，10 D.4，5，9
5.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A.AB=2BF B.∠ACE= ∠ACB C.AE=BE D.CD⊥BE
6.如图，将两根等长钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边
7.下列计算正确的是（ ）
A.32=6 B.3﹣1=﹣3 C.30=0 D.3﹣1=
8.已知y2+10y+m是完全平方式，则m的值是（ ）
A.25 B.±25 C.5 D.±5
9.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则∠BDC的度数为（ ）
A.72° B.36° C.60° D.82°
10.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB=AC+CD，若∠BAC=75°，则∠ABC的大小为（ ）
A.25° B.35° C.37.5° D.45°
11.若分式 ，则分式 的值等于（ ）
A.﹣ B. C.﹣ D.
12.若x2+cx+6=（x+a）（x+b），其中a，b，c为整数，则c的取值有（ ）
A.1个 B.2个 C.4个 D.8个
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
13.计算3a2b3•（﹣2ab）2= .
14.分解因式：a2b﹣b3= .
15.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，则PQ= .
16.如图，将一张长方形纸片折叠成如图所示的形态，∠CBD=40°，则∠ABC= .
17.如图，点E为等边△ABC中AC边的中点，AD⊥BC，且AD=5，P为AD上的动点，则PE+PC的最小值为 .
18.若关于x的分式方程 无解，则m的值是 .
19.如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1.点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是 .
三、解答题（共5小题，满分56分）
20.解答下列各题：
（1）分解因式：4a2﹣8ab+4b2﹣16c2
（2）计算：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣8a2b÷2b
（3）化简求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=﹣3
（4）解分式方程： ﹣1= .
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD.
22.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点.
23.从2014年春季开始，我县农村实行垃圾分类集中处理，对农村环境进行综合整治，靓化了我们的家园.现在某村要清理一个卫生死角内的垃圾，若用甲、乙两车运送，两车各运15趟可完成，已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的3倍，求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?
24.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状.
八年级期末数学考试卷参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1.要使分式 有意义，x的取值范围满足（ ）
A.x=0 B.x≠0 C.x>0 D.x<0
【分析】根据分母不等于0，列式即可得解.
【解答】解：根据题意得，x≠0.
故选B.
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零.
2.下列各式中能用平方差公式是（ ）
A.（x+y）（y+x） B.（x+y）（y﹣x） C.（x+y）（﹣y﹣x） D.（﹣x+y）（y﹣x）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果.
【解答】解：能用平方差公式是（x+y）（y﹣x）=y2﹣x2，
故选B
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.
3.下列计算结果正确的是（ ）
A.x•x2=x2 B.（x5）3=x8 C.（ab）3=a3b3 D.a6÷a2=a3
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解.
【解答】解：A、x•x2=x2同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误；
B、（x5）3=x15，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误.
C、（ab）3=a3b3，故本选项正确；
D、a6÷a2=a3同底数幂的除法，底数不变指数相减，故本选项错误.
故选C.
【点评】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题.
4.下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（ ）
A.3，3，3 B.3，4，5 C.5，6，10 D.4，5，9
【分析】先回顾一下三角形的三边关系定理，根据判定定理逐个判断即可.
【解答】解：A、3+3>3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
B，3+4>5，3+5>4，5+4>3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
C、5+6>10，5+10>6，6+10>5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
D、4+5=9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确；
故选D.
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.
5.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A.AB=2BF B.∠ACE= ∠ACB C.AE=BE D.CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.依此即可求解.
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE= ∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE.
故选C.
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质.
6.如图，将两根等长钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可.
【解答】解：∵AA′、BB′的中点O连在一起，
∴OA=OA′，OB=OB′，
又∵∠AOB=∠A′OB′，
∴△OAB≌△OA′B′的理由是“边角边”.
故选B.
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
7.下列计算正确的是（ ）
A.32=6 B.3﹣1=﹣3 C.30=0 D.3﹣1=
【分析】根据乘方的意义判断A；根据负整数指数幂的意义判断B；根据零指数幂的意义判断C；根据负整数指数幂的意义判断D.
【解答】解：A、32=9，故本选项错误；
B、3﹣1= ，故本选项错误；
C、30=1，故本选项错误；
D、3﹣1= ，故本选项正确；
故选D.
【点评】本题考查了乘方的意义，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，是基础知识，需熟练掌握.
8.已知y2+10y+m是完全平方式，则m的值是（ ）
A.25 B.±25 C.5 D.±5
【分析】直接利用完全平方公式求出m的值.
【解答】解：∵y2+10y+m是完全平方式，
∴y2+10y+m=（y+5）2=y2+10y+25，
故m=25.
故选：A.
【点评】此题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式是解题关键.
9.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则∠BDC的度数为（ ）
A.72° B.36° C.60° D.82°
【分析】先根据AB=AC，∠A=36°求出∠ABC及∠C的度数，再由垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，再由三角形内角与外角的性质解答即可.
【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C= = =72°，
∵DE垂直平分AB，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°.
故选A.
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
10.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB=AC+CD，若∠BAC=75°，则∠ABC的大小为（ ）
A.25° B.35° C.37.5° D.45°
【分析】可在AB上取AC′=AC，则由题中条件可得BC′=C′D，即∠C=∠AC′D=2∠B，再由三角形的内角和即可求解∠B的大小.
【解答】解：在AB上取AC′=AC，
在△ACD和△AC′D中，
，
∴△ACD≌△AC′D（SAS），
又∵AB=AC+CD，得AB=AC′+C′D，
∴BC′=C′D，
∴∠C=∠AC'D=2∠B，
又∵∠B+∠C=180°﹣∠BAC=105°，
∴∠B=35°.
故选B.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，熟记相似三角形的判定和巧作辅助线是解题的关键.
11.若分式 ，则分式 的值等于（ ）
A.﹣ B. C.﹣ D.
【分析】根据已知条件，将分式 整理为y﹣x=2xy，再代入则分式 中求值即可.
【解答】解：整理已知条件得y﹣x=2xy；
∴x﹣y=﹣2xy
将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得
=
=
=
= .
故答案为B.
【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可.
12.若x2+cx+6=（x+a）（x+b），其中a，b，c为整数，则c的取值有（ ）
A.1个 B.2个 C.4个 D.8个
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，即可确定出c的取值个数.
【解答】解：x2+cx+6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
可得c=a+b，ab=6，
即a=1，b=6，此时c=1+6=7；a=2，b=3，此时c=2+3=5；a=﹣3，b=﹣2，此时c=﹣3﹣2=﹣5；a=﹣1，b=﹣6，此时c=﹣1﹣6=﹣7，
则c的取值有4个.
故选C
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
13.计算3a2b3•（﹣2ab）2= 12a4b5 .
【分析】首先利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则求出即可.
【解答】解：3a2b3•（﹣2ab）2=3a2b3•4a2b2=12a4b5.
故答案为：12a4b5.
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键.
14.分解因式：a2b﹣b3= b（a+b）（a﹣b） .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解.平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）.
【解答】解：a2b﹣b3，
=b（a2﹣b2），（提取公因式）
=b（a+b）（a﹣b）.（平方差公式）
故答案为：b（a+b）（a﹣b）.
【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解因式要彻底.
15.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，则PQ= 2 .
【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PQ，从而求得PQ的长.
【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP=∠CPO=∠POQ=15°，
∴∠BCP=30°，
∴PM= PC=2，
∵PQ=PM，
∴PQ=2.
故答案为：2.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PQ的长的问题进行转化.
16.如图，将一张长方形纸片折叠成如图所示的形态，∠CBD=40°，则∠ABC= 70° .
【分析】首先根据邻补角定义可得∠CBC′=180°﹣40°=140°，再根据折叠可得∠CBA=∠C′BA，进而得到答案.
【解答】解：∵∠CBD=40°，
∴∠CBC′=180°﹣40°=140°，
根据折叠可得∠CBA=∠C′BA，
∴∠ABC=140°÷2=70°，
故答案为：70°.
【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握图形翻折后哪些角是对应相等的.
17.如图，点E为等边△ABC中AC边的中点，AD⊥BC，且AD=5，P为AD上的动点，则PE+PC的最小值为 5 .
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出AB的长，连接BE，则线段BE的长即为PE+PC最小值.
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，且AD=5，
∴AB= = = ，
连接BE，线段BE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边AC的中点，
∴CE= AB= × = cm，
∴BE= = = =5，
∴PE+PC的最小值是5.
故答案为：5.
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.
18.若关于x的分式方程 无解，则m的值是 3 .
【分析】先把分式方程化为整式方程得到x=m﹣2，由于关于x的分式方程 无解，则最简公分母x﹣1=0，求得x=1，进而得到m=3.
【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2.
∵关于x的分式方程无解，
∴最简公分母x﹣1=0，
∴x=1，
当x=1时，得m=3，
即m的值为3.
故答案为3.
【点评】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解.当分式方程无解时可能存在两种情况：（1）原分式方程存在增根；（2）原分式方程去分母后，整式方程无解.本题中由于原分式方程去分母后，得到的整式方程为一元一次方程，必定有解，所以只有一种情况.
19.如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1.点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是 2 .
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系.AO=1，则OC=2.证明△AOP≌△COD求解.
【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP.
∴△ODC≌△POA.
∴AP=OC.
∴AP=OC=AC﹣AO=2.
故答案为：2.
【点评】解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上.
三、解答题（共5小题，满分56分）
20.解答下列各题：
（1）分解因式：4a2﹣8ab+4b2﹣16c2
（2）计算：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣8a2b÷2b
（3）化简求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=﹣3
（4）解分式方程： ﹣1= .
【分析】（1）首先提公因式4，然后把前三项写成完全平方的形式，利用平方差公式分解；
（2）首先利用平方差公式以及单项式与多项式的乘法、单项式与单项式的除法法则计算，然后合并同类项即可；
（3）首先把括号内的分式的分母分解因式，把除法转化为乘法，然后利用分配律计算，最后进行分式的加减即可；
（4）首先去分母转化为整式方程求得x的值，然后进行检验即可.
【解答】解：（1）原式=4（a2﹣2ab+b2﹣4c2）
=4[（a2﹣2ab+b2）﹣4c2]=4[（a﹣b）2﹣4c2]
=4（a﹣b+2c）（a﹣b﹣2c）；
（2）原式=4a4﹣b2+2ab+b2﹣4a2=2ab；
（3）原式=[ ﹣ ]÷
= • ﹣ •
= ﹣
=
=
=
=
=1；
（4）方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得，x（x+2）﹣（x2﹣4）=8，
去括号，得x2+2x﹣x2﹣4=8，
解得：x=6，
检验：当x=6时，（x+2）（x﹣2）=8×4=32≠0.
则x=6是方程的解.
【点评】本题考查了分式的化简求值以及分式方程的解法，正确进行分解因式是关键，且要注意解分式方程时一定要检验.
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD.
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答.
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）.
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）.
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
22.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点.
【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证.
【解答】证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点.
【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识.辅助线的作出是正确解答本题的关键.
23.从2014年春季开始，我县农村实行垃圾分类集中处理，对农村环境进行综合整治，靓化了我们的家园.现在某村要清理一个卫生死角内的垃圾，若用甲、乙两车运送，两车各运15趟可完成，已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的3倍，求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?
【分析】设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运3x趟，根据两车各运15趟可完成总任务，列方程求解.
【解答】解：设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运3x趟，
根据题意得： + =1，
解得：x=20，
经检验：x=20是方程的解，且符合题意，
则20×3=60（趟）.
答：甲车单独运完此堆垃圾需运20趟，乙车单独运完此堆垃圾需运60趟.
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验.
24.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状.
【分析】（1）首先将a2﹣4a+4三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可.
【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4
=a2﹣4a+4﹣b2
=（a﹣2）2﹣b2
=（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）；
（2）a2﹣ab﹣ac+bc=0，
∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）=0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，
∴（a﹣b）（a﹣c）=0，
∴a﹣b=0，或者a﹣c=0，
即：a=b，或者a=c
∴△ABC是等腰三角形.
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键.
