九年级数学上期末质量检测题
一、选择题（每题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡上）
1.下列四个点，在反比例函数y= 图象上的是（ ）
A.（2，﹣6） B.（8，4） C.（3，﹣4） D.（﹣6，﹣2）
2.下面方程中，有两个不等实数根的方程是（ ）
A.x2+x﹣1=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2﹣x+ =0 D.x2+1=0
3.如果两个相似多边形的相似比为1：5，则它们的面积比为（ ）
A.1：25 B.1：5 C.1：2.5 D.1：
4.下列命题中正确的是（ ）
A.两条对角线相等的平行四边形是矩形
B.三个角是直角的多边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.有一个角是直角的四边形是矩形
5.在反比例函数 的图象上有两点（﹣1，y1）， ，则y1﹣y2的值是（ ）
A.负数 B.非正数 C.正数 D.不能确定
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（ ）
A.1 B. C. D.
7.高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是（ ）
A.16米 B.20米 C.24米 D.30米
8.下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为（ ）
A.1234 B.4312 C.3421 D.4231
9.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
10.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A.y=（x﹣1）2+4 B.y=（x﹣4）2+4 C.y=（x+2）2+6 D.y=（x﹣4）2+6
11.某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（ ）
A. B. C. D.
12.如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
13.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A.（﹣2，1） B.（﹣8，4） C.（﹣2，1）或（2，﹣1） D.（﹣8，4）或（8，﹣4）
14.在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y= （k≠0）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
15.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，则下列结论：
①a<0，b<0；②a+b+c>0；③a﹣b+c<0；④当x>1时，y随x的增大而减小；
⑤b2﹣4ac>0；⑥4a+2b+c>0；⑦a+b>m（am+b）（m≠1）.
其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题（本题共8小题，满分24分）
16.二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 .
17.一个四边形各边的中点的连线组成的四边形为菱形，则原四边形的特点是 .
18.关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是 .
19.二次函数y=x2+bx﹣2（b为常数）的图象与x轴有 个交点.
20.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）.
21.将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为 .
22.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是 cm.
23.如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 .
三、解答题（共7小题，满分51分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸上作答）
24.计算：20160﹣3tan30°+（﹣ ）﹣2﹣| ﹣2|
25.某超市计划在“十周年”庆典开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指扇形内的数为每次所得的数（若指针指在分界线时重转）；当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为8时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时返现金10元和小于6时不返现金.
（1）试用树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果；
（2）某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少?
26.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?（结果精确到0.1cm，参考数据： ≈1.732）
27.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 元.
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元?
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大?
28.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长.
29.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b> 的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC.
30. 如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）.
（1）求点B的坐标.
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标.
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.
九年级数学上期末质量检测参考答案
一、选择题（每题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡上）
1.下列四个点，在反比例函数y= 图象上的是（ ）
A.（2，﹣6） B.（8，4） C.（3，﹣4） D.（﹣6，﹣2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【专题】计算题.
【分析】分别计算出自变量为2、8、3、﹣6时的函数值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断四个点是否在反比例函数y= 图象上.
【解答】解：当x=2时，y= =6；当x=8时，y= = ；当x=3时，y= =4；当x=﹣6时，y= =﹣2，
所以点（2，﹣6），（8，4），（3，﹣4）不在反比例函数y= 图象上，而点（﹣6，﹣2）在反比例函数y= 图象上.
故选D.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.
2.下面方程中，有两个不等实数根的方程是（ ）
A.x2+x﹣1=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2﹣x+ =0 D.x2+1=0
【考点】根的判别式.
【专题】转化思想.
【分析】分别计算各选项的△，来判断根的情况，一元二次方程有两个不等实数根即判别式的值大于0.
【解答】解：A、∵△=b2﹣4ac=1+4=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
B、∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3<0，
∴方程没有实数根.
C、∵△=b2﹣4ac=1﹣1=0，
∴方程有两个相等的实数根.
D、移项后得，x2=﹣1
∵任何数的平方一定是非负数.
∴方程无实根.故错误.
故选A.
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△<0⇔方程没有实数根.
3.如果两个相似多边形的相似比为1：5，则它们的面积比为（ ）
A.1：25 B.1：5 C.1：2.5 D.1：
【考点】相似多边形的性质.
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论.
【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：5，
∴它们的面积比=12：52=1：25.
故选A.
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.
4.下列命题中正确的是（ ）
A.两条对角线相等的平行四边形是矩形
B.三个角是直角的多边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.有一个角是直角的四边形是矩形
【考点】命题与定理；矩形的判定.
【分析】根据矩形的判定方法对四个命题分别进行判断.
【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为真命题；
B、三个角是直角的四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C、两条对角线相互平分且相等的四边形是矩形，所以C选项假真命题；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以D选项为假命题.
故选A.
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.
5.在反比例函数 的图象上有两点（﹣1，y1）， ，则y1﹣y2的值是（ ）
A.负数 B.非正数 C.正数 D.不能确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】反比例函数 ：当k<0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大.
【解答】解：∵反比例函数 中的k<0，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大；
又∵点（﹣1，y1）和 均位于第二象限，﹣1<﹣ ，
∴y1
∴y1﹣y2<0，即y1﹣y2的值是负数，
故选A.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（ ）
A.1 B. C. D.
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】先求出∠A的度数，然后将特殊角的三角函数值代入求解.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，
则sinA+cosB= + =1.
故选A.
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.
7.高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是（ ）
A.16米 B.20米 C.24米 D.30米
【考点】相似三角形的应用.
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.
【解答】解：∵ ，
即 ，
∴设建筑物的高是x米.则 =
解得：x=16.
故该建筑物的高为16米.
故选A.
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出该建筑物的高度，体现了方程的思想.
8.下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为（ ）
A.1234 B.4312 C.3421 D.4231
【考点】平行投影.
【分析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断四个时刻的时间顺序.
【解答】解：时间由早到晚的顺序为4312.
故选B.
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.
9.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可.
【解答】解：从物体左面看，左边2个正方形，右边1个正方形.
故选：B.
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项.
10.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A.y=（x﹣1）2+4 B.y=（x﹣4）2+4 C.y=（x+2）2+6 D.y=（x﹣4）2+6
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式.
【解答】解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2.
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4，
故选：B.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减.
11.某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，
∴恰好选中两名男学生的概率是： = .
故选A.
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
12.如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质.
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可.
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形.
故选：D.
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.
13.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A.（﹣2，1） B.（﹣8，4） C.（﹣2，1）或（2，﹣1） D.（﹣8，4）或（8，﹣4）
【考点】位似变换；坐标与图形性质.
【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案.
【解答】解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是（﹣4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，
∴点A′的坐标是：（﹣ ×4， ×2），[﹣ ×（﹣4），﹣ ×2]，
即（﹣2，1），（2，﹣1）.
故选：C.
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k得出是解题关键.
14.在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y= （k≠0）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象.
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k>0和k<0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案.
【解答】解：（1）当k>0时，一次函数y=kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：
（2）当k<0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限.如图所示：
故选：A.
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象.灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想.
15.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，则下列结论：
①a<0，b<0；②a+b+c>0；③a﹣b+c<0；④当x>1时，y随x的增大而减小；
⑤b2﹣4ac>0；⑥4a+2b+c>0；⑦a+b>m（am+b）（m≠1）.
其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴的交点得出b2﹣4ac的符号，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，且a<0，
∴b>0，故此选项错误；
②当x=1时，对应y的值大于0，即a+b+c>0，故此选项正确；
③当x=﹣1时，对应y的值小于0，即a﹣b+c<0，故此选项正确；
④当x>1时，y随x的增大而减小，正确；
⑤图象与x轴有两个交点，故b2﹣4ac>0，正确；
⑥∵抛物线对称轴为直线x=1，且图象与x轴左侧交点大于﹣1，故抛物线与x轴右侧交点大于2，
故当x=2时4a+2b+c>0，正确；
⑦∵当x=1时，y最大，即a+b+c最大，故a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m（am+b），（m为实数且m≠1），故此选项正确；
故正确的有6个.
故选：C.
【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根据图象判断其值.
二、填空题（本题共8小题，满分24分）
16.二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 （﹣1，﹣1） .
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式进行计算即可.
【解答】解：∵a=1，b=2，c=0，
∴﹣ =﹣ =﹣1，
= =﹣1，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式（﹣ ， ）.
17.一个四边形各边的中点的连线组成的四边形为菱形，则原四边形的特点是 对角线相等 .
【考点】中点四边形.
【分析】先证明EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EH=FG=EF=HG，即可得出结论.
【解答】解：原四边形的特点是对角线相等.理由如下：
如图，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点.
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
∴根据三角形的中位线的性质
∴EH=FG= BD，EF=HG= AC.
∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形.
故答案为：对角线相等.
【点评】本题考查了中点四边形、菱形的判定、三角形中位线定理.运用三角形中位线定理证得AC=BD是解决问题的关键.
18.关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤ 且k≠0 .
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.
【分析】本题是对根的判别式与一元二次方程的定义的考查，因为关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个实数根，所以△=b2﹣4ac≥0，列出不等式求解，然后还要考虑二次项系数不能为0.
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，即（﹣1）2﹣4×k×2≥0，
解这个不等式得：k≤ ，
又∵k是二次项系数，
∴k≠0，
则k的取值范围是k≤ 且k≠0.
故答案为：k≤ 且k≠0.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根.以及一元二次方程的意义.
19.二次函数y=x2+bx﹣2（b为常数）的图象与x轴有 2 个交点.
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】根据抛物线与x轴交点个数的性质得出△的符号，进而得出答案.
【解答】解：∵△=b2+8，
∴b2+8>0，
∴二次函数y=x2+bx﹣2（b为常数）的图象与x轴相交，有2个交点，
故答案为：2.
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点，正确利用△与交点个数的关系是解题关键.
20.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 14.1 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）.
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长.
【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE= ，
∴BE=BC•cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm.
故答案为：14.1.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节.
21.将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为 .
【考点】翻折变换（折叠问题）.
【专题】压轴题.
【分析】由四边形BEDF是菱形，可得OB=OD= BD，由四边形ABCD是矩形，可得∠C=90°，然后设CD=x，根据折叠的性质得：OD=OB=CD，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求得方程，解此方程即可求得答案.
【解答】解：∵四边形BEDF是菱形，
∴OB=OD= BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
设CD=x，
根据折叠的性质得：OD=OB=CD，
在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
即62+x2=（2x）2，
解得：x=2 ，
∴AB=CD=2 .
故答案为：2 .
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的性质以及折叠的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系.
22.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是 210 cm.
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案.
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴BD：CD=1：5，
∴CD=5BD=5×54=270（cm），
∴AC=CD﹣AD=270﹣60=210（cm）.
∴AC的长度是210cm.
故答案为：210.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题.此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.
23.如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【专题】压轴题.
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断.
【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线 上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2.
故答案为：2.
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.
三、解答题（共7小题，满分51分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸上作答）
24.计算：20160﹣3tan30°+（﹣ ）﹣2﹣| ﹣2|
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值.
【分析】利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质以及绝对值的性质化简，进而求出答案.
【解答】解：20160﹣3tan30°+（﹣ ）﹣2﹣| ﹣2|
=1﹣3× +9﹣2+
=8.
【点评】此题主要考查了零指数幂以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂以及绝对值的性质，正确化简化简各数是解题关键.
25.某超市计划在“十周年”庆典开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指扇形内的数为每次所得的数（若指针指在分界线时重转）；当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为8时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时返现金10元和小于6时不返现金.
（1）试用树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果；
（2）某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少?
【考点】列表法与树状图法.
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先求得某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
（2）∵某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的有6种情况，
∴某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是： = .
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
26.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?（结果精确到0.1cm，参考数据： ≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案.
【解答】解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G.
∴四边形BFDG矩形，
∴BG=FD
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
∴CF=BC•sin30°=20× =10，
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，
∴BG=AB•sin60°=30× =15 .
∴CE=CF+FD+DE=10+15 +2
=12+15 ≈37.98≈38.0（cm）.
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.
27.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 2000 元.
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元?
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大?
【考点】二次函数的应用.
【分析】（1）原来一天可获利润=（原售价﹣原进价）×一天的销售量；
（2）①根据等量关系：降价后的单件利润×销售量=总利润，列方程解答；
②根据“总利润=降价后的单件利润×销售量”列出函数表达式，并运用二次函数性质解答.
【解答】解：（1）（100﹣80）×100=2000（元）；
故答案为：2000.
（2）①依题意得：
（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160
即x2﹣10x+16=0
解得：x1=2，x2=8
经检验：x1=2，x2=8都是方程的解，且符合题意.
答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.
②依题意得：y=（100﹣80﹣x）（100+10x），
∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10（x﹣5）2+2250，
∵﹣10≤0，
∴当x=5时，商店所获利润最大.
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答第②小题的关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用.
28.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长.
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长.
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM= =13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF= AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴ ，
即 ，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9.
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.
29.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b> 的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象，观察即可求得答案；
（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案.
【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y= 的图象上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式为：y= ，
∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，
∴n= =﹣2，
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）﹣32；
（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5，
∴S△ABC= ×2×5=5.
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.注意待定系数法的应用是解题的关键.
30. 如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）.
（1）求点B的坐标.
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标.
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.
【考点】二次函数综合题.
【专题】压轴题.
【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，
∴ =﹣1，解得b=2.
将B（1，0）代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=﹣3.
则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3.
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴ ×3×|x|=4× ×3×1，
∴|x|=4，x=±4.
当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；
当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5.
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；
②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得 ，解得 ，
即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3.
设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），
QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ，
∴当x=﹣ 时，QD有最大值 .
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题.此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想.
