例题1:
如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,此图象与x轴的交点坐标分别为(−1,0)、(3,0).下列说法正确的个数是( ).
①ac<0;
②a+b+c>0;
③方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1,x2=3;
④当x>1时,y随着x的增大而增大.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:
C
解析:
① ∵该抛物线的开口方向向上,
∴a>0;
又∵该抛物线与y轴交于负半轴,
∴c<0
∴ac<0;
故本选项正确;
②∵根据抛物线的图象知,该抛物线的对称轴是x=
=1,
∴当x=1时,y<0,
即a+b+c<0;
故本选项错误;
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点是(−1,0)、(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1,x2=3,
故本选项正确;
④由②知,该抛物线的对称轴是x=1,
∴当x>1时,y随着x的增大而增大;
故本选项正确;
综上所述,以上说法正确的是①③④,共有3个;
故选C.
例题2:
在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30∘,则CP的长为____________.
答案:
6 或
或
解析:
如图1:
当∠C=60°时,∠ABC=30°,与∠ABP=30°矛盾;
如图2:
当∠C=60°时,∠ABC=30°,
∵∠ABP=30°,
∴∠CBP=60°,
∴△PBC是等边三角形,
∴CP=BC=6;
如图3:
当∠ABC=60°时,∠C=30°,
∵∠ABP=30°,
∴∠PBC=60°−30°=30°,
∴PC=PB,
∵BC=6,
∴AB=3,
∴PC=PB=
=
=
;
如图4:
当∠ABC=60°时,∠C=30°,
∵∠ABP=30°,
∴∠PBC=60°+30°=90°,
∴PC=BC÷cos 30°=
.
例题3:
在平面直角坐标系中,点Q为坐标系上任意一点,某图形上的所有点在∠Q的内部(含角的边),这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角.如图1,矩形ABCD,作射线OA,OB,则称∠AOB为矩形ABCD的视角.
(1)如图1,矩形ABCD,A(
,1),B(
,1),C(
,3),D(
,3),直接写出视角∠AOB的度数
(2)在(1)的条件下,在射线CB上有一点Q,使得矩形ABCD的视角 ∠AQB=60°,求点Q的坐标.
(3)如图2,⊙P的半径为1,点P(1,
),点Q在x轴上,且⊙P的视角 ∠EQF的度数大于60°,若Q(a,0),求a的取值范围.
答案:
(1)120° (2)Q(
,-1) (3)0
解析:
(1)分析三角形形状即可得知
(2)连结AC,在射线CB上截取CQ=CA,连结AQ.
∵AB=
,BC=2,
∴AC=4.
∴∠ACQ=60°.
∴△ACQ为等边三角形,
即∠AQC=60°.
∵CQ=AC=4,
∴Q(
,-1).
(3)如图1,当点Q与点O重合时,∠EQF=60°,
∴Q(0,0).
如图2,当FQ⊥x轴时,∠EQF=60°,
∴Q(2,0).
∴a的取值范围是0
作