教学目标
教学目标:从数和形两方面理解绝对值的意义,会求有理数的绝对值;
教学重点:求有理数的绝对值.
教学难点:绝对值的概念.
教学过程
时间教学环节主要师生活动
一、问题引入
二、剖析概念
三、新知运用
四、深入理解
四、总结反思:两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方向行驶10 km,到达A,B两处,它们的行驶路线相同吗?它们的行驶路程相同吗?
显然,它们行驶的路线不同,但行驶的路程相等。如果我们将道路抽象成数轴,点O为原点,向东为正方向,那么点A表示+10,点B表示-10,如果我们不考虑方向,只考虑路程,即点A与点B到原点O的距离都是10,这个距离就是我们这节课要学习的概念:绝对值。
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,用这样的符号来表示,记作
。
上图中,点A与点B分别表示10和-10,它们与原点的距离都是10个单位长度,所以10和-10的绝对值都是10,即
=10,
=10。再看上图,点O表示的数是0,那么0的绝对值等于多少呢?由于点O是原点,它与原点距离是0,所以0的绝对值等于0,即|0|=0.
现在请同学们用刚刚学习的绝对值的概念,尝试完成下面的练习。
练习 写出下列各数的绝对值。
6,-8,-3.9,
,
, 100, 0
解:因为6在原点右侧,到原点的距离是6个单位长度,所以6的绝对值是6,即|6|=6;-8在原点左侧,到原点的距离是8个单位长度,所以-8的绝对值是8,|-8|=8;
同理可得,-3.9的绝对值是3.9 ;
的绝对值是
;
;100的绝对值是100;0的绝对值是0。请同学们尝试自己用符号语言来描述这四个绝对值。
上述各数的绝对值,与原数有什么关系?
首先,|6|=6,发现正数6的绝对值等于它本身。|
=
,正数
的绝对值等于它本身;|100|=100,正数100的绝对值等于它本身,由此我可以得出结论:一个正数的绝对值是它本身。
其次,我们再来看:|-8|=8,它表明-8的绝对值是8,根据上节课学习的知识,我们知道8和-8是互为相反数的,所以我们得到结论:-8的绝对值是它的相反数8,类似的,因为|-3.9|=3.9,所以-3.9的绝对值是它的相反数3.9;因为|
|=
,所以
的绝对值是它的相反数
,由此我可以得出结论:一个负数的绝对值是它的相反数。正数与负数我们都考虑完了,还差谁呢?对,还有0.我们看到:0的绝对值是0。
由于有理数分为正数,负数和0,结合数轴,我们就可以得到如下结论:
(1)一个正数的绝对值是它本身;
(2)一个负数的绝对值是它的相反数;
(3)0的绝对值是0.
符号表示:
例1.计算:
(1)|-125|;(2)|+23|;(3)|-3.5|;(4)|
|;(5)|-
|;(6)|0|
按照求一个有理数的绝对值的方法,我们知道要求一个数的绝对值,首先需要判断这个数是正数,负数还是0,然后再按照这个方法具体求就可以了。
解:(1)-125是负数,它的绝对值应是它的相反数,所以|-125|=-(-125)=125;
(2)+23是正数,它的绝对值是它本身,所以|+23|=23;
(3)-3.5是负数,它的绝对值应是它的相反数, |-3.5|=-(-3.5)=3.5
(4)|
|=
;(5)|-
|=-(-
)=
;(6)|0|=0
通过上面的练习,请同学们思考下面的问题:
(1)一个数的绝对值会是负数吗?为什么?
比如说有没有绝对值等于-2的数?显然没有,因为距离不能是负数;
同样因为距离不能为负,所以没有一个数的绝对值是负的。
(2)不论有理数a取何值,它的绝对值总是什么数?
绝对值的性质:有理数a的绝对值总是非负数。
符号表示:|a|≥0
(3)互为相反数的两个数的绝对值有什么关系?
表示一对相反数的两个点虽然分别在原点两侧,但它们到原点的距离是相等的.所以互为相反数的两个数的绝对值相等.
例2. 判断下列说法是否正确:
(1)符号相反的数互为相反数;(×)
(2)一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上越靠右;(×
(3)一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远。(√)
(4)当a≠0时,|a|总是大于0。(√)
例3. 判断下列各式是否正确:
(1)|5|=|-5|;(2)-|5|=|-5|;
现在,我们比较熟悉绝对值的概念了,请同学们先思考,再回答下面的问题:
(1)绝对值等于它本身的数有哪些?
绝对值等于它本身的数包含正数和0,正数与0我们统称为非负数,所以,绝对值等于它本身的是非负数。
(2)绝对值等于它的相反数的数有哪些?
同学们会马上说出负数,只有负数吗?其实0的绝对值也可是它的相反数,
所以,绝对值等于它的相反数是数是负数和0.
例4. 填空:
(1)若|a|=2, 则a= ±2 若|x|=|y|, 则: x = y 或 x =- y .(2)若|a|=a 则a ≥ 0; 若|a|=-a, 则a ≤ 0;
总结反思:
一、知识汇总:
1.绝对值的概念:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作
,
2.绝对值的求法:(1)一个正数的绝对值是它本身;
(2)一个负数的绝对值是它的相反数;
(3)0的绝对值是0.
符号表示:
二、数学思想:
(1)在得到绝对值定义的过程中,借助了数轴这个工具帮助我们直观的理解绝对值定义,这体现了数形结合的思想;
(2)(在总结、概括求一个有理数的绝对值的方法时,首先需要判断这个数是正数,负数还是0,体现了分类讨论的思想;
(3)符号意识。上述两个过程我们都采用数学的符号来表示,以体现其表示数学符号的简洁性,在今后的数学学习中,我们还将会大量地用数学符号表示数学的定义、法则、结论等。