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高二数学必修五教案:《等比数列》

2021-01-18 16:58:44 浏览量:

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高二数学必修五教案:《等比数列》

  教学目标:

  灵活应用等比数列的定义及通项公式,深刻理解等比中项概念,掌握等比数列的性质;提高学生的数学素质,增强学生的应用意识.

  教学重点:

  1.等比中项的理解与应用.

  2.等比数列定义及通项公式的应用.

  教学难点:

  灵活应用等比数列定义、通项 公式、性质解决一些相关问题.

  教学过程:

  Ⅰ.复习回顾

  等比数列定义,等比数列通项公式

  Ⅱ.讲授新课

  根据定义、通项公式,再与等差数列对照,看等比数列具有哪些性质?

  (1)若a,A,b成等差数列 a=a+b2 ,A为等差中项.

  那么,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,……

  则即Ga =bG ,即G2=ab

  反之,若G2=ab,则Ga =bG ,即a,G,b成等比数列

  ∴a,G,b成等比数列 G2=ab (a•b≠0)

  总之,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab ,(a,b同号)

  另外,在等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,那么,在等比数列中呢?

  由通项公式可得:am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,aq=a1•qq-1

  不难发现:am•an=a12qm+n-2,ap•aq=a12qp+q-2

  若m+n=p+q,则am•an=a p•aq

  下面看应用这些性质可以解决哪些问题?

  [例1]在等比数列{an}中,若a3•a5=100,求a4.

  分析:由等比数列性质,若m+n=p+q,则am•an=ap•aq可得:

  解:∵在等比数列中,∴a3•a5=a42

  又∵a3•a5=100,∴a4=±10.

  [例2]已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列,求证{an•bn}是等比数列.

  分析:由等比数列定义及通项公式求得.

  解:设数列{an}的首项是a1,公比为p;{bn}的首项为b1,公比为q.

  则数列{an}的第n项与第n+1项分别为a1pn-1,a1pn

  数列{bn}的第n项与第n+1项分别为b1qn-1,b1qn.

  数列{an•bn}的第n项与第n+1项分别为a1•pn-1•b1•qn-1与a1•pn•b1•qn,即为

  a1b1(pq)n-1与a1b1(pq)n

  ∵an+1an •bn+1bn =a1b1(pq)na1b1(pq)n-1 =pq

  它是一个与n无关的常数,

  ∴{an•bn}是一个以pq为公比的等比数列.

  特别地,如果{an}是等比数列, c是不等于0的常数,那么数列{c•an}是等比数列.

  [例3]三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数.

  解:设m,G,n为此三数

  由已知得:m+n+G=14,m•n•G=64,

  又∵G2=m •n,∴G3=64,∴G=4,∴m+n=10

  ∴m=2n=8 或m=8n=2

  即这三个数为2,4,8或8,4,2.

  评述:结合已知条件与定义、通项公式、性质,选择解题捷径.

  Ⅲ.课堂练习

  课本P50练习1,2,3,4,5.

  Ⅳ.课时小结

  本节主要内容为:

  (1)若a,G,b成等比数列,则G2 =ab,G叫做a与b的等比中项.

  (2)若在等比数列中,m+n=p+q,则am•an=ap•aq

  Ⅴ.课后作业

  课本P52习题 5,6,7,9

  等比数列(二)

  1.已知数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( )

  A.5 B.10 C.15 D.20

  2.在等比数列中,a1=1,q∈R且|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于 ( )

  A.9 B.10 C.11 D.12

  3.非零实数x、y、z成等差数列,x+1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列,则y等于( )

  A.10 B.12 C.14 D.16

  4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四数.

  5.在数列{an}和{bn}中,an>0,bn>0,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,a1=1,b1=2,a2=3,求an∶bn的值.

  6.设x>y >2,且x+y,x-y,xy,yx 能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列.

  7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项的和为18,求这四个数.

  等比数列(二)答案

  1 .已知数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( )

  A.5 B.10 C.15 D.20

  分析:要确定一个等比数列,必须有两个独立条件,而这里只有一个条件,故用先确定基本量a1和q,再求a3+a5 的方法是不行的,而应寻求a3+a5整体与已知条件之间的关系.

  解法一:设此等比数列的公比为q,由条件得a1q•a1q3+2a1q2•a1q4+a1q3•a1q5=25

  即a12q4(q2+1)2=25,又an>0,得q>0

  ∴a1q2(q2+1)=5

  a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(q2+1)=5

  解法二:∵a2a4+2a3a5+a4a6=25

  由等比数列性质得a32+2a3a5+a52=25

  即(a3+a5)2=25,又an>0,∴a3+a5=5

  评述:在运用方程思想方法的过程中,还要注意整体观念,善于利用等比数列的性质,以达到简化解题过程、快速求解的目的.

  2.在等比数列中,a1=1,q∈R且|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于 ( )

  A.9 B.10 C.11 D.12

  解:∵am=a1a2a3a4a5=a15q1+2+3+4=a15q10=a15q11-1

  又∵a1=1,∴am=q11-1,∴m=11. 答案:C

  3.非零实数x、y、z成等差数列,x+1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列,则y等于( )

  A.10 B.12 C.14 D.16

  解:由已知得2y=x+zy2=(x+1)zy2=x(z+2) 2y=x+zy2=(x+1)zz=2x 2y=3xy2=(x+1)2x y=12

  答案:B

  4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四数.

  解:设所求的四个数分别为a,x-d,x,x+d

  则(x-d)2=ax ①a+(x-d)+x=19 ②(x-d)+x+(x+d)=12 ③

  解得x=4,代入①、②得(4-d)2=4a a-d=11

  解得a=25d=14 或a=9d=-2

  故所求四个数为25,-10,4,18或9,6,4,2.

  5.在数列{an}和{bn}中,an>0,bn>0,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,a1=1, b1=2,a2=3,求an∶bn的值.

  分析:关键是求出两个数列的通项公式.根据条件,应注意两个数列之间的联系及相互转换.

  解:由题意知:2bn=an+an+1 ①an+12=bnbn+1 ②

  ∴an+1=bnbn+1 ,an=bnbn-1 (n≥2)

  代入①得2bn=bnbn+1 +bnbn-1

  即2bn =bn+1 +bn-1 (n≥2)

  ∴{bn }成等差数列,设公差为d

  又b1=2,b2=a22b1 =92 ,

  ∴d=b2 -b1 =322-2 =22

  ∴bn =2 +22(n-1)=22(n+1),bn=12 (n+1)2,

  当n≥2时,an=bnbn-1 =n(n+1)2 ③

  且a1=1时适合于③式,故 anbn =nn+1 .

  评述:对于通项公式有关系的两个数列的问题,一般采用消元法,先消去一个数列的项,并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形,构造一个新的数列.

  6.设x>y>2,且x+y,x-y,xy,yx 能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列.

  分析:先由x>y>2,可知x-y

  解:∵x> y>2,x+y>x-y,xy>x+y,而 yx <1

  当 yx

  则有 yx •xy=(x-y)(x+y)(x+y)2=(x-y)xy

  解方程组得x=7+52 ,y=5+72 2

  ∴所求等比数列为22,2+32 2 ,12+172 2 ,70+992 2 .

  当 yx >x-y时,由x-y, yx ,x+y,xy顺次构成等比数列

  则有yx •xy=(x+y)2yx (x+y)=(x-y)xy

  解方程组得y=112 ,这与y>2矛盾,故这种情况不存在.

  7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项的和为18,求这四个数.

  分析一:从后三个数入手.

  解法一:设所求的四个数为 (x-d)2x ,x-d,x,x+d,根据题意有

  (x-d)2x +(x+d)=21(x-d)+x=18 ,解得x=12d=6 或x=274 d=92 274

  ∴所求四个数为3,6,12,18或754 ,454 ,274 ,94 .

  分析二:从前三数入手.

  解法二:设前三个数为 xq ,x,xq,则第四个数为2xq-x.

  依题设有xq +2xq-x=21x+xq=18 ,解得x=6q=2 或x=454 q=35

  故所求的四个数为3,6,12,18或754 ,454 ,274 ,94 .

  分析三:从首末两项的和与中间两项的和入手.

  解法三:设欲求的四数为x,y,18-y,2-x,由已知得:

  y2=x(18-y)2(18-y)=y+(21-x) ,解得x=3y=6 或x=754 y=454

  ∴所求四数为3,6,12,18或754 ,454 ,274 ,94 .


 

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