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【课件一】
预习课本P103～105，思考并完成以下问题
（1）怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?
（2）向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?
（3）向量数量积的性质有哪些?
（4）向量数量积的运算律有哪些?
[新知初探]
1.向量的数量积的定义
（1）两个非零向量的数量积：
已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义a与b的数量积（或内积）是数量|a||b|cosθ
记法a·b=|a||b|cosθ
（2）零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛]（1）两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定.
（2）两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式.
2.向量的数量积的几何意义
（1）投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
（2）数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
[点睛]（1）b在a方向上的投影为|b|cosθ（θ是a与b的夹角），也可以写成a·b|a|.
（2）投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零.
3.向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.
（1）a⊥b⇔a·b=0.
（2）当a与b同向时，a·b=|a||b|，
当a与b反向时，a·b=-|a||b|.
（3）a·a=|a|2或|a|=a·a=a2.
（4）cosθ=a·b|a||b|.
（5）|a·b|≤|a||b|.
[点睛]对于性质（1），可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直.
4.向量数量积的运算律
（1）a·b=b·a（交换律）.
（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（结合律）.
（3）（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）.
[点睛]（1）向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b.
（2）（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c=a·（b·c）在一般情况下不成立.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个向量的数量积仍然是向量.（）
（2）若a·b=b·c，则一定有a=c.（）
（3）若a，b反向，则a·b=-|a||b|.（）
（4）若a·b=0，则a⊥b.（）
答案：（1）×（2）×（3）√（4）×
2.若|a|=2，|b|=12，a与b的夹角为60°，则a·b=（）
A.2B.12
C.1D.14
答案：B
3.已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·15b=-36，则a与b的夹角为（）
A.60°B.120°
C.135°D.150°
答案：B
4.已知a，b的夹角为θ，|a|=2，|b|=3.
（1）若θ=135°，则a·b=________；
（2）若a∥b，则a·b=________；
（3）若a⊥b，则a·b=________.
答案：（1）-32（2）6或-6（3）0
向量数量积的运算
[典例]（1）已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2，求：①a·b；②（a+b）·
（a-2b）.
（2）如图，正三角形ABC的边长为2，=c，=a，=b，求a·b+b·c+c·a.
[解]（1）①由已知得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.
②（a+b）·（a-2b）=a2-a·b-2b2=16-（-4）-2×4=12.
（2）∵|a|=|b|=|c|=2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b+b·c+c·a=2×2×cos120°×3=-3.
向量数量积的求法
（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.
（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法
运算.
[活学活用]
已知|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：
（1）a·b；（2）a2-b2；
（3）（2a-b）·（a+3b）.
解：（1）a·b=|a||b|cos120°=3×4×-12=-6.
（2）a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7.
（3）（2a-b）·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5|a||b|·cos120°-3|b|2
=2×32+5×3×4×-12-3×42=-60.
与向量的模有关的问题
[典例]（1）（浙江高考）已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1，则|b|=________.
（2）已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=10，则|b|=________.
[解析]（1）令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12.
又0°≤θ≤180°，∴θ=60°.
∵b·（e1-e2）=0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1=|b||e1|cos30°=1，
从而|b|=1cos30°=233.
（2）∵a，b的夹角为45°，|a|=1，
∴a·b=|a||b|cos45°=22|b|，
|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10，∴|b|=32.
[答案]（1）233（2）32
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方.
（2）a·a=a2=|a|2或|a|=a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
[活学活用]
已知向量a，b满足|a|=|b|=5，且a与b的夹角为60°，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.
解：∵|a+b|2=（a+b）2=（a+b）（a+b）
=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°
=50+2×5×5×12=75，
∴|a+b|=53.
∵|a-b|2=（a-b）2=（a-b）（a-b）
=|a|2+|b|2-2a·b
=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25，
∴|a-b|=5.
∵|2a+b|2=（2a+b）（2a+b）
=4|a|2+|b|2+4a·b
=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175，
∴|2a+b|=57.
两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1.（重庆高考）已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，且a⊥（2a+b），则a与b的夹角为（）
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：选C∵a⊥（2a+b），∴a·（2a+b）=0，
∴2|a|2+a·b=0，
即2|a|2+|a||b|cos〈a，b〉=0.
∵|b|=4|a|，∴2|a|2+4|a|2cos〈a，b〉=0，
∴cos〈a，b〉=-12，∴〈a，b〉=2π3.
题点二：证明两向量垂直
2.已知向量a，b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：（a+b）⊥（a-b）.
证明：∵|2a+b|=|a+2b|，
∴（2a+b）2=（a+2b）2.
即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2，
∴a2=b2.
∴（a+b）·（a-b）=a2-b2=0.
又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，
∴（a+b）⊥（a-b）.
题点三：利用夹角和垂直求参数
3.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直，则k的值为（）
A.-32B.32
C.±32D.1
解析：选B∵3a+2b与ka-b互相垂直，
∴（3a+2b）·（ka-b）=0，
∴3ka2+（2k-3）a·b-2b2=0.
∵a⊥b，∴a·b=0，
又|a|=2，|b|=3，
∴12k-18=0，k=32.
求向量a与b夹角的思路
（1）求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值.
（2）在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值.
层级一学业水平达标
1.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角θ为（）
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：选C由题意，知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2，又0≤θ≤π，所以θ=π3.
2.已知|b|=3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于（）
A.3B.92
C.2D.12
解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ=32，
∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.
3.已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90°，c=2a+3b，d=ka-4b，c与d垂直，则k的值为（）
A.-6B.6
C.3D.-3
解析：选B∵c·d=0，
∴（2a+3b）·（ka-4b）=0，
∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0，
∴2k=12，∴k=6.
4.已知a，b满足|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a+b|=（）
A.37B.13
C.37D.13
解析：选C|a+b|=a+b2=a2+2a·b+b2
=42+2×4×3cos60°+32=37.
5.在四边形ABCD中，=，且·=0，则四边形ABCD是（）
A.矩形B.菱形
C.直角梯形D.等腰梯形
解析：选B∵=，即一组对边平行且相等，·=0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形.
6.给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b=0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2=b2.
其中，正确命题的序号是________.
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b=0，显然①②错误.
答案：③
7.设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1-e2）·（-3e1+2e2）=________.
解析：（2e1-e2）·（-3e1+2e2）=-6e21+7e1·e2-2e22=-6+7×cos60°-2=-92.
答案：-92
8.若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________.
解析：∵c⊥a，∴c·a=0，
∴（a+b）·a=0，即a2+a·b=0.
∵|a|=1，|b|=2，∴1+2cos〈a，b〉=0，
∴cos〈a，b〉=-12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.
答案：120°
9.已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a=2e1+e2，b=2e2-3e1，求a与b的
夹角.
解：因为|e1|=|e2|=1，
所以e1·e2=1×1×cos60°=12，
|a|2=（2e1+e2）2=4+1+4e1·e2=7，故|a|=7，
|b|2=（2e2-3e1）2=4+9-12e1·e2=7，故|b|=7，
且a·b=-6e21+2e22+e1·e2=-6+2+12=-72，
所以cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|=-727×7=-12，
所以a与b的夹角为120°.
10.已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为-1.
（1）求a与b的夹角θ；
（2）求（a-2b）·b；
（3）当λ为何值时，向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
解：（1）∵|a|=2|b|=2，
∴|a|=2，|b|=1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1，
∴a·b=|a||b|cosθ=-1.
∴cosθ=-12，∴θ=2π3.
（2）（a-2b）·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
（3）∵λa+b与a-3b互相垂直，
∴（λa+b）·（a-3b）=λa2-3λa·b+b·a-3b2
=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，∴λ=47.
层级二应试能力达标
1.已知|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为π3，则向量m=a-4b的模为（）
A.2B.23
C.6D.12
解析：选B|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×12+16=12，所以|m|=23.
2.在Rt△ABC中，C=90°，AC=4，则·等于（）
A.-16B.-8
C.8D.16
解析：选D法一：因为cosA=ACAB，故·=||·||cosA=||2=16，故选D.
方法二：在上的投影为||cosA=||，故·=|cosA=||2=16，故选D.
3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a-b|=（）
A.1B.3
C.5D.3
解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉=|b|cos〈a，b〉，因为|a|=1，|b|
=2，所以cos〈a，b〉=0，即a⊥b，则|a-b|=|a|2+|b|2-2a·b=5.
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC的中点，则·=（）
A.-3B.0
C.-1D.1
解析：选C·=AB―→+12AD―→·（-）
=12·-||2+12||2
=12×2×2×cos60°-22+12×22=-1.
5.设向量a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.
解析：法一：由a+b+c=0得c=-a-b.
又（a-b）·c=0，∴（a-b）·（-a-b）=0，即a2=b2.
则c2=（a+b）2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2，
∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
法二：如图，作==a，
=b，则=c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a-b=-=，
（a-b）⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|=1，∴|b|=1，|c|=2，∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
答案：4
6.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，12a+b·（2a-3b）=12，则|b|=________；b在a方向上的投影等于________.
解析：12a+b·（2a-3b）=a2+12a·b-3b2=12，即3|b|2-2|b|-4=0，解得|b|=2（舍负），b在a方向上的投影是|b|cos45°=2×22=1.
答案：21
7.已知非零向量a，b，满足|a|=1，（a-b）·（a+b）=12，且a·b=12.
（1）求向量a，b的夹角；（2）求|a-b|.
解：（1）∵（a-b）·（a+b）=12，
∴a2-b2=12，
即|a|2-|b|2=12.
又|a|=1，
∴|b|=22.
∵a·b=12，
∴|a|·|b|cosθ=12，
∴cosθ=22，
∴向量a，b的夹角为45°.
（2）∵|a-b|2=（a-b）2
=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=12，
∴|a-b|=22.
8.设两个向量e1，e2，满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，
得2te1+7e2·e1+te2|2te1+7e2|·|e1+te2| （2te1+7e2）·（e1+te2） 2t2+15t+7 当夹角为π时，也有（2te1+7e2）·（e1+te2） 但此时夹角不是钝角，
设2te1+7e2=λ（e1+te2），λ 2t=λ，7=λt，λ ∴所求实数t的取值范围是
-7，-142∪-142，-12.
【课件二】
[新知初探]
平面向量共线的坐标表示
前提条件a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0
结论当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线
[点睛]（1）平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2=y1y2（x2≠0，y2≠0），即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；
（2）当a≠0，b=0时，a∥b，此时x1y2-x2y1=0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2-x2y1=0⇔a∥b.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），若a∥b，则必有x1y2=x2y1.（）
（2）向量（2，3）与向量（-4，-6）反向.（）
答案：（1）√（2）√
2.若向量a=（1，2），b=（2，3），则与a+b共线的向量可以是（）
A.（2，1）B.（-1，2）C.（6，10）D.（-6，10）
答案：C
3.已知a=（1，2），b=（x，4），若a∥b，则x等于（）
A.-12B.12C.-2D.2
答案：D
4.已知向量a=（-2，3），b∥a，向量b的起点为A（1，2），终点B在x轴上，则点B的坐标为________.
答案：73，0
向量共线的判定
[典例]（1）已知向量a=（1，2），b=（λ，1），若（a+2b）∥（2a-2b），则λ的值等于（）
A.12B.13C.1D.2
（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，-3）.判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反?
[解析]（1）法一：a+2b=（1，2）+2（λ，1）=（1+2λ，4），2a-2b=2（1，2）-2（λ，1）=（2-2λ，2），由（a+2b）∥（2a-2b）可得2（1+2λ）-4（2-2λ）=0，解得λ=12.
法二：假设a，b不共线，则由（a+2b）∥（2a-2b）可得a+2b=μ（2a-2b），从而1=2μ，2=-2μ，方程组显然无解，即a+2b与2a-2b不共线，这与（a+2b）∥（2a-2b）矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ=21，即λ=12.
[答案]A
（2）[解]=（0，4）-（2，1）=（-2，3），=（5，-3）-（1，3）=（4，-6），
∵（-2）×（-6）-3×4=0，∴，共线.
又=-2，∴，方向相反.
综上，与共线且方向相反.
向量共线的判定方法
（1）利用向量共线定理，由a=λb（b≠0）推出a∥b.
（2）利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
[活学活用]
已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，ka+b与a-3b平行，平行时它们的方向相同还是相反?
解：ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
a-3b=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），
若ka+b与a-3b平行，则-4（k-3）-10（2k+2）=0，
解得k=-13，此时ka+b=-13a+b=-13（a-3b），故ka+b与a-3b反向.
∴k=-13时，ka+b与a-3b平行且方向相反.
三点共线问题
[典例]（1）已知=（3，4），=（7，12），=（9，16），求证：A，B，C三点共线；
（2）设向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），当k为何值时，A，B，C三点
共线?
[解]（1）证明：∵=-=（4，8），
=-=（6，12），
∴=32，即与共线.
又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线.
（2）若A，B，C三点共线，则，共线，
∵=-=（4-k，-7），
=-=（10-k，k-12），
∴（4-k）（k-12）+7（10-k）=0.
解得k=-2或k=11.
有关三点共线问题的解题策略
（1）要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；
（2）使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用=λ，或=λ，或=λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式.
[活学活用]
设点A（x，1），B（2x，2），C（1，2x），D（5，3x），当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上?
解：=（2x，2）-（x，1）=（x，1），
=（1，2x）-（2x，2）=（1-2x，2x-2），
=（5，3x）-（1，2x）=（4，x）.
由与共线，所以x2=1×4，所以x=±2.
又与方向相同，所以x=2.
此时，=（2，1），=（-3，2），
而2×2≠-3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上.
所以A，B，C，D不在同一条直线上.
向量共线在几何中的应用
题点一：两直线平行判断
1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，
设||=1，则||=1，||=2.
∵CE⊥AB，而AD=DC，
∴四边形AECD为正方形，
∴可求得各点坐标分别为E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（-1，1）.
∵=（-1，1）-（0，0）=（-1，1），
=（0，1）-（1，0）=（-1，1），
∴=，∴∥，即DE∥BC.
题点二：几何形状的判断
2.已知直角坐标平面上四点A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是等腰梯形.
证明：由已知得，=（4，3）-（1，0）=（3，3），
=（0，2）-（2，4）=（-2，-2）.
∵3×（-2）-3×（-2）=0，∴与共线.
=（-1，2），=（2，4）-（4，3）=（-2，1），
∵（-1）×1-2×（-2）≠0，∴与不共线.
∴四边形ABCD是梯形.
∵=（-2，1），=（-1，2），
∴||=5=||，即BC=AD.
故四边形ABCD是等腰梯形.
题点三：求交点坐标
3.如图所示，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC和OB交点P的坐标.
解：法一：设=t=t（4，4）
=（4t，4t），
则=-=（4t，4t）-（4，0）=（4t-4，4t），
=-=（2，6）-（4，0）=（-2，6）.
由，共线的条件知（4t-4）×6-4t×（-2）=0，
解得t=34.∴=（3，3）.
∴P点坐标为（3，3）.
法二：设P（x，y），
则=（x，y），=（4，4）.
∵，共线，
∴4x-4y=0.①
又=（x-2，y-6），=（2，-6），
且向量，共线，
∴-6（x-2）+2（6-y）=0.②
解①②组成的方程组，得x=3，y=3，
∴点P的坐标为（3，3）.
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
层级一学业水平达标
1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）
A.e1=（0，0），e2=（1，-2）
B.e1=（-1，2），e2=（5，7）
C.e1=（3，5），e2=（6，10）
D.e1=（2，-3），e2=12，-34
解析：选BA中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1=12e2，∴e1∥e2；D中e1=4e2，∴e1∥e2，故选B.
2.已知点A（1，1），B（4，2）和向量a=（2，λ），若a∥，则实数λ的值为（）
A.-23B.32
C.23D.-32
解析：选C根据A，B两点的坐标，可得=（3，1），
∵a∥，∴2×1-3λ=0，解得λ=23，故选C.
3.已知A（2，-1），B（3，1），则与平行且方向相反的向量a是（）
A.（2，1）B.（-6，-3）
C.（-1，2）D.（-4，-8）
解析：选D=（1，2），向量（2，1）、（-6，-3）、（-1，2）与（1，2）不平行；（-4，-8）与（1，2）平行且方向相反.
4.已知向量a=（x，2），b=（3，-1），若（a+b）∥（a-2b），则实数x的值为（）
A.-3B.2
C.4D.-6
解析：选D因为（a+b）∥（a-2b），a+b=（x+3，1），a-2b=（x-6，4），所以4（x+3）-（x-6）=0，解得x=-6.
5.设a=32，tanα，b=cosα，13，且a∥b，则锐角α为（）
A.30°B.60°
C.45°D.75°
解析：选A∵a∥b，
∴32×13-tanαcosα=0，
即sinα=12，α=30°.
6.已知向量a=（3x-1，4）与b=（1，2）共线，则实数x的值为________.
解析：∵向量a=（3x-1，4）与b=（1，2）共线，
∴2（3x-1）-4×1=0，解得x=1.
答案：1
7.已知A（-1，4），B（x，-2），若C（3，3）在直线AB上，则x=________.
解析：=（x+1，-6），=（4，-1），
∵∥，∴-（x+1）+24=0，∴x=23.
答案：23
8.已知向量a=（1，2），b=（-2，3），若λa+μb与a+b共线，则λ与μ的关系是________.
解析：∵a=（1，2），b=（-2，3），
∴a+b=（1，2）+（-2，3）=（-1，5），
λa+μb=λ（1，2）+μ（-2，3）=（λ-2μ，2λ+3μ），
又∵（λa+μb）∥（a+b），
∴-1×（2λ+3μ）-5（λ-2μ）=0，
∴λ=μ.
答案：λ=μ
9.已知A，B，C三点的坐标为（-1，0），（3，-1），（1，2），并且=13，=13，求证：∥.
证明：设E，F的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
依题意有=（2，2），=（-2，3），=（4，-1）.
∵=13，∴（x1+1，y1）=13（2，2）.
∴点E的坐标为-13，23.
同理点F的坐标为73，0，=83，-23.
又83×（-1）-4×-23=0，∴∥.
10.已知向量a=（2，1），b=（1，1），c=（5，2），m=λb+c（λ为常数）.
（1）求a+b；
（2）若a与m平行，求实数λ的值.
解：（1）因为a=（2，1），b=（1，1），
所以a+b=（2，1）+（1，1）=（3，2）.
（2）因为b=（1，1），c=（5，2），
所以m=λb+c=λ（1，1）+（5，2）=（λ+5，λ+2）.
又因为a=（2，1），且a与m平行，
所以2（λ+2）=λ+5，解得λ=1.
层级二应试能力达标
1.已知平面向量a=（x，1），b=（-x，x2），则向量a+b（）
A.平行于x轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
解析：选C因为a+b=（0，1+x2），所以a+b平行于y轴.
2.若A（3，-6），B（-5，2），C（6，y）三点共线，则y=（）
A.13B.-13
C.9D.-9
解析：选DA，B，C三点共线，
∴∥，而=（-8，8），=（3，y+6），
∴-8（y+6）-8×3=0，即y=-9.
3.已知向量a=（1，0），b=（0，1），c=ka+b（k∈R），d=a-b，如果c∥d，那么（）
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
解析：选D∵a=（1，0），b=（0，1），若k=1，则c=a+b=（1，1），d=a-b=（1，-1），显然，c与d不平行，排除A、B.若k=-1，则c=-a+b=（-1，1），d=a-b=-（-1，1），即c∥d且c与d反向.
4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0），（3，0），（1，-5），则第四个顶点的坐标是（）
A.（1，5）或（5，5）
B.（1，5）或（-3，-5）
C.（5，-5）或（-3，-5）
D.（1，5）或（5，-5）或（-3，-5）
解析：选D设A（-1，0），B（3，0），C（1，-5），第四个顶点为D，
①若这个平行四边形为▱ABCD，
则=，∴D（-3，-5）；
②若这个平行四边形为▱ACDB，
则=，∴D（5，-5）；
③若这个平行四边形为▱ACBD，
则=，∴D（1，5）.
综上所述，D点坐标为（1，5）或（5，-5）或（-3，-5）.
5.已知=（6，1），=（x，y），=（-2，-3），∥，则x+2y的值为________.
解析：∵=++=（6，1）+（x，y）+（-2，-3）
=（x+4，y-2），
∴=-=-（x+4，y-2）=（-x-4，-y+2）.
∵∥，
∴x（-y+2）-（-x-4）y=0，即x+2y=0.
答案：0
6.已知向量=（3，-4），=（6，-3），=（5-m，-3-m）.若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________.
解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.
∵=-=（3，1），=-=（2-m，1-m），
∴3（1-m）≠2-m，即m≠12.
答案：m≠12
7.已知A（1，1），B（3，-1），C（a，b）.
（1）若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；
（2）若=2，求点C的坐标.
解：（1）若A，B，C三点共线，则与共线.
=（3，-1）-（1，1）=（2，-2），=（a-1，b-1），
∴2（b-1）-（-2）（a-1）=0，∴a+b=2.
（2）若=2，则（a-1，b-1）=（4，-4），
∴a-1=4，b-1=-4，∴a=5，b=-3，
∴点C的坐标为（5，-3）.
8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A（2，6），B（6，4），C（5，0），D（1，0），求直线AC与BD交点P的坐标.
解：设P（x，y），则=（x-1，y），
=（5，4），=（-3，6），=（4，0）.
由B，P，D三点共线可得==（5λ，4λ）.
又∵=-=（5λ-4，4λ），
由于与共线得，（5λ-4）×6+12λ=0.
解得λ=47，
∴=47=207，167，
∴P的坐标为277，167.
