第 8 课时§ 1.3.2 函数的极值与导数( 1)
较是最大或最小 并不意味着它在函数的整
发现问题
个的定义域内最大或最小.
情景导思
在前一节中,我们以导数为工具研
究了函数的单调性, 现在我们再进一步研究
函数的另一性质 —— 极值.
互动课堂
知识清单
知识点 1:极大值与极小值的定义
( 1)极大值: 一般地, 设函数 f(x) 在点
x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点,
都有 f( x)< f(x0),就说 f(x0 )是函数 f( x)的一个
极大值,记作 y极大值 f ( x0 ) , x0 是极大
值点.
( 2)极小值:一般地,设函数 f(x) 在 x0
附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,
都有 f(x)> f(x0).就说 f( x0 )是函数 f(x)的一个
极小值,记作 y极小值 f ( x0 ) , x0 是极小
值点.
极大值与极小值统称为极值.
在定义中,取得极值的点称为极值点,
极值点是自变量的值, 极值指的是函数值 请
注意以下几点:
①极值是一个局部概念 由定义,极值只
是某个点的函数值与它附近点的函数值比
②函数的极值不是唯一的 即一个函数在
某区间上或定义域内极大值或极小值可以
不止一个.
③极大值与极小值之间无确定的大小关
系 即一个函数的极大值未必大于极小值.
④函数的极值点一定出现在区间的内
部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
知识点 2:判断 f ( x0 ) 是极大、极小值
的方法
若 x0 满足 f (x0 ) 0 ,且在 x0 的两
侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值
点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ( x) 在 x0 两
侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极大
值点, f ( x0 ) 是极大值; 如果 f ( x) 在 x0 两
侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小
值点, f (x0 ) 是极小值.
知识点 3:求可导函数 f ( x) 的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间, 求导数 f′ (x);
(2)求方程 f′( x)=0 的根;
(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数
的定义区间分成若干小开区间,并列成表
格.检查 f′ (x)在方程根左右的值的符号,
如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极
大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处
取得极小值; 如果左右不改变符号, 那么 f(x)
在这个根处无极值.
学法指导
1.极值的概念的理解
【例 1】已知函数 f (x) x ,在 x 0 处
函数极值的情况是( )
A .没有极值 B.有极大值
C.有极小值 D .极值情况不能确定
【解析】当 x 0 0 时, f (x) x ,知
f (x) 1 0;
当 x 0 时 , f ( x) x , 知
f (x) 1 0;
当 x 0 时, f ( x) 0 ,且 f ( x) 不
存在.
知 x 0 是此函数的极小值点,故
选 C.
【点评】极值点不一定是导数为零的点,也有可能是导数不存在的点。
但对可导函数而言,极值点一定出现在导数为零的点.高中阶段,研究函数的极值问题,一般研究可导函数的极值问题. 同时对可导函数来说,导数为零的点不一定是极值点.
变式训练:求函数
f (x)
x3 的导数为零的点,并判断它是否为函数的极值点.
【解析】 f
(x) 3x 2
,令 f ( x)
0
得到 x 0,但当 x
0时, f ( x)
0
导数为零,但不是函数的极值点.
2 . f ( x0 ) 是函数 y
f ( x) 的极大、
极小值的判断
【例 2】求函数 f ( x)
x3
12x 的极值.
【解析】函数定义域为
R.
f (x)
3x2
12 3(x 2)( x 2).
令 f
( x)
0
,得 x
2
.
当 x
2 或 x
2 时, f ( x)
0 ,
∴函数在
,2和2,
上是增函
数;
当
2
x
2 时, f
( x)
0
,
∴函数在(- 2, 2)上是减函数.
∴ 当 x 2 时 , 函 数 有 极 大 值
f ( 2) 16 ,
当 x 2 时 , 函 数 有 极 小 值
f ( 2) 16 .
【点评】按照求极值的基本方法,首先
从方程 f ( x) 0 求出在函数 f ( x) 定义域
内所有可能的极值点, 然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.
变式训练:求函数
f ( x) 2x3 3x2 12x 5 的极值点.
【解析】
f (x)
6x2
6x
12
6(x2
x
2)
6( x
2)( x 1) 0,
求得零点 x1
2,