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人教版高考数学课件:函数极值与导数

2020-11-12 19:35:19 浏览量:

第 8 课时§ 1.3.2 函数的极值与导数( 1)

 较是最大或最小 并不意味着它在函数的整

 发现问题

 个的定义域内最大或最小.

 情景导思

 在前一节中,我们以导数为工具研

 究了函数的单调性, 现在我们再进一步研究

 函数的另一性质 —— 极值.

 互动课堂

 知识清单

 知识点 1:极大值与极小值的定义

 ( 1)极大值: 一般地, 设函数 f(x) 在点

 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点,

 都有 f( x)< f(x0),就说 f(x0 )是函数 f( x)的一个

 极大值,记作 y极大值 f ( x0 ) , x0 是极大

 值点.

 ( 2)极小值:一般地,设函数 f(x) 在 x0

 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,

 都有 f(x)> f(x0).就说 f( x0 )是函数 f(x)的一个

 极小值,记作 y极小值 f ( x0 ) , x0 是极小

 值点.

 极大值与极小值统称为极值.

 在定义中,取得极值的点称为极值点,

 极值点是自变量的值, 极值指的是函数值 请

 注意以下几点:

 ①极值是一个局部概念 由定义,极值只

 是某个点的函数值与它附近点的函数值比

 

 ②函数的极值不是唯一的 即一个函数在

 某区间上或定义域内极大值或极小值可以

 不止一个.

 ③极大值与极小值之间无确定的大小关

 系 即一个函数的极大值未必大于极小值.

 ④函数的极值点一定出现在区间的内

 部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.

 知识点 2:判断 f ( x0 ) 是极大、极小值

 的方法

 若 x0 满足 f (x0 ) 0 ,且在 x0 的两

 侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值

 点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ( x) 在 x0 两

 侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极大

 值点, f ( x0 ) 是极大值; 如果 f ( x) 在 x0 两

 侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小

 值点, f (x0 ) 是极小值.

 知识点 3:求可导函数 f ( x) 的极值的步骤

 (1)确定函数的定义区间, 求导数 f′ (x);

 (2)求方程 f′( x)=0 的根;

 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数

 的定义区间分成若干小开区间,并列成表

 格.检查 f′ (x)在方程根左右的值的符号,

 如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极

 大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处

 取得极小值; 如果左右不改变符号, 那么 f(x)

 在这个根处无极值.

 学法指导

 1.极值的概念的理解

 【例 1】已知函数 f (x) x ,在 x 0 处

 函数极值的情况是( )

 A .没有极值 B.有极大值

 C.有极小值 D .极值情况不能确定

 【解析】当 x 0 0 时, f (x) x ,知

 f (x) 1 0;

 当 x 0 时 , f ( x) x , 知

 f (x) 1 0;

 当 x 0 时, f ( x) 0 ,且 f ( x) 不

 存在.

 知 x 0 是此函数的极小值点,故

 选 C.

 【点评】极值点不一定是导数为零的点,也有可能是导数不存在的点。

 但对可导函数而言,极值点一定出现在导数为零的点.高中阶段,研究函数的极值问题,一般研究可导函数的极值问题. 同时对可导函数来说,导数为零的点不一定是极值点.

 变式训练:求函数

 f (x)

 x3 的导数为零的点,并判断它是否为函数的极值点.

 【解析】 f

 (x) 3x 2

 ,令 f ( x)

 0

 得到 x 0,但当 x

 0时, f ( x)

 0

 

 导数为零,但不是函数的极值点.

 2 . f ( x0 ) 是函数 y

 f ( x) 的极大、

 极小值的判断

 【例 2】求函数 f ( x)

 x3

 12x 的极值.

 【解析】函数定义域为

 R.

 f (x)

 3x2

 12 3(x 2)( x 2).

 令 f

 ( x)

 0

 ,得 x

 2

 .

 当 x

 2 或 x

 2 时, f ( x)

 0 ,

 ∴函数在

 ,2和2,

 上是增函

 数;

 当

 2

 x

 2 时, f

 ( x)

 0

 ,

 ∴函数在(- 2, 2)上是减函数.

 ∴ 当 x 2 时 , 函 数 有 极 大 值

 f ( 2) 16 ,

 当 x 2 时 , 函 数 有 极 小 值

 f ( 2) 16 .

 【点评】按照求极值的基本方法,首先

 从方程 f ( x) 0 求出在函数 f ( x) 定义域

 内所有可能的极值点, 然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.

 变式训练:求函数

 f ( x) 2x3 3x2 12x 5 的极值点.

 【解析】

 f (x)

 6x2

 6x

 12

 6(x2

 x

 2)

 6( x

 2)( x 1) 0,

 求得零点 x1

 2,

 

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