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数学函数奇偶性练习题及答案解析
1.下列命题中，真命题是（ ）
A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数
B.函数y=x3（x-1）0是奇函数，且在定义域内为增函数
C.函数y=x2是偶函数，且在（-3，0）上为减函数
D.函数y=ax2+c（ac≠0）是偶函数，且在（0，2）上为增函数
解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a<0时，y=ax2+c（ac≠0）在（0，2）上为减函数，故选C.
2.奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f（-6）+f（-3）的值为（ ）
A.10 B.-10
C.-15 D.15
解析：选C.f（x）在[3，6]上为增函数，f（x）max=f（6）=8，f（x）min=f（3）=-1.∴2f（-6）+f（-3）=-2f（6）-f（3）=-2×8+1=-15.
3.f（x）=x3+1x的图象关于（ ）
A.原点对称 B.y轴对称
C.y=x对称 D.y=-x对称
解析：选A.x≠0，f（-x）=（-x）3+1-x=-f（x），f（x）为奇函数，关于原点对称.
4.如果定义在区间[3-a，5]上的函数f（x）为奇函数，那么a=________.
解析：∵f（x）是[3-a，5]上的奇函数，
∴区间[3-a，5]关于原点对称，
∴3-a=-5，a=8.
答案：8
1.函数f（x）=x的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称.
2.下列函数为偶函数的是（ ）
A.f（x）=|x|+x B.f（x）=x2+1x
C.f（x）=x2+x D.f（x）=|x|x2
解析：选D.只有D符合偶函数定义.
3.设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A.f（x）f（-x）是奇函数
B.f（x）|f（-x）|是奇函数
C.f（x）-f（-x）是偶函数
D.f（x）+f（-x）是偶函数
解析：选D.设F（x）=f（x）f（-x）
则F（-x）=F（x）为偶函数.
设G（x）=f（x）|f（-x）|，
则G（-x）=f（-x）|f（x）|.
∴G（x）与G（-x）关系不定.
设M（x）=f（x）-f（-x），
∴M（-x）=f（-x）-f（x）=-M（x）为奇函数.
设N（x）=f（x）+f（-x），则N（-x）=f（-x）+f（x）.
N（x）为偶函数.
4.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3+bx2+cx（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
解析：选A.g（x）=x（ax2+bx+c）=xf（x），g（-x）=-x•f（-x）=-x•f（x）=-g（x），所以g（x）=ax3+bx2+cx是奇函数；因为g（x）-g（-x）=2ax3+2cx不恒等于0，所以g（-x）=g（x）不恒成立.故g（x）不是偶函数.
5.奇函数y=f（x）（x∈R）的图象必过点（ ）
A.（a，f（-a）） B.（-a，f（a））
C.（-a，-f（a）） D.（a，f（1a））
解析：选C.∵f（x）是奇函数，
∴f（-a）=-f（a），
即自变量取-a时，函数值为-f（a），
故图象必过点（-a，-f（a））.
6.f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）≥2，则当x≤0时（ ）
A.f（x）≤2 B.f（x）≥2
C.f（x）≤-2 D.f（x）∈R
解析：选B.可画f（x）的大致图象易知当x≤0时，有f（x）≥2.故选B.
7.若函数f（x）=（x+1）（x-a）为偶函数，则a=________.
解析：f（x）=x2+（1-a）x-a为偶函数，
∴1-a=0，a=1.
答案：1
8.下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f（x）=0（x∈R）既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题是________.
解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对；奇函数当x=0无意义时，其图象不过原点，②错，③对.
答案：③④
9.①f（x）=x2（x2+2）；②f（x）=x|x|；
③f（x）=3x+x；④f（x）=1-x2x.
以上函数中的奇函数是________.
解析：（1）∵x∈R，∴-x∈R，
又∵f（-x）=（-x）2[（-x）2+2]=x2（x2+2）=f（x），
∴f（x）为偶函数.
（2）∵x∈R，∴-x∈R，
又∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
∴f（x）为奇函数.
（3）∵定义域为[0，+∞），不关于原点对称，
∴f（x）为非奇非偶函数.
（4）f（x）的定义域为[-1，0）∪（0，1]
即有-1≤x≤1且x≠0，则-1≤-x≤1且-x≠0，
又∵f（-x）=1--x2-x=-1-x2x=-f（x）.
∴f（x）为奇函数.
答案：②④
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=（x-1） 1+x1-x；（2）f（x）=x2+x x<0-x2+x x>0.
解：（1）由1+x1-x≥0，得定义域为[-1，1），关于原点不对称，∴f（x）为非奇非偶函数.
（2）当x<0时，-x>0，则f（-x）=-（-x）2-x=-（-x2+x）=-f（x），
当x>0时，-x<0，则f（-x）=（-x）2-x=-（-x2+x）=-f（x），
综上所述，对任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数.
11.判断函数f（x）=1-x2|x+2|-2的奇偶性.
解：由1-x2≥0得-1≤x≤1.
由|x+2|-2≠0得x≠0且x≠-4.
∴定义域为[-1，0）∪（0，1]，关于原点对称.
∵x∈[-1，0）∪（0，1]时，x+2>0，
∴f（x）=1-x2|x+2|-2=1-x2x，
∴f（-x）=1--x2-x=-1-x2x=-f（x），
∴f（x）=1-x2|x+2|-2是奇函数.
12.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立.试判断f（x）的奇偶性.
解：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，
得f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0.
再令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数.
