高一上册数学教案设计：样本均值估计总体均值
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教学目标及教学重点、难点
本节课的主要内容是利用样本均值估计总体均值；样本均值的应用，即某类个体在总体中所占的比例；理解样本均值与总体均值的关系.主要思想方法利用样本估计总体的统计思想.
教学过程（表格描述）
教学环节主要教学活动设置
意图
引入引言：
以云计算、物联网、大数据为核心的“互联网+”时代已经来了。科学、技术、工程和现代生活的各个方面都越来越依赖通过对数据进行分析和处理来进行推断并获得结论.上节课我们学习了收集数据的一种方法——简单随机抽样，在收集数据的基础上本节课我们来学习如何分析和处理数据并进行推断.
复习回顾：
简单随机抽样的定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n
简单随机抽样的两个方法：抽签法和随机数法.
抽签法的步骤：第一步是编号；第二步是制签，抽签；第三步是得样本.
抽签法的优点是简单易行，但是当总体较大时，操作起来比较麻烦，效果也不好.所以，一般适用于总体中个体不多的情形.
随机数法的步骤：第一步是编号；第二步是产生随机数；第三步是得样本.
随机数法与抽签法的优点一样，都是简单易行.缺点是当总体特别大时，虽然比抽签法要公平一些，但编号工作量比较大，操作起来仍然不是很方便.
引言
复习回顾
为本节课做铺垫
新课树人中学高一年级有712名学生，为调查其平均身高，用简单随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本
156.0 166.0 157.0 155.0 162.0 168.0 173.0 155.0 157.0 160.0 175.0 177.0 158.0 155.0 161.0 158.0 161.5 166.0 174.0 170.0 162.0 155.0 156.0 158.0 183.0 164.0 173.0 155.5 176.0 171.0 164.5 160.0 149.0 172.0 165.0 176.0 176.0 168.5 171.0 169.0 156.0 171.0 151.0 158.0 156.0 165.0 158.0 175.0 165.0 171.0
由这些样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为164.3.据此，可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右.
样本均值的定义：
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1， y2，…，yn，则称
为样本均值（sample mean），又称样本平均数.
还有没有别的方法来估计总体的集中趋势?
用样本中位数估计总体平均数，用样本众数估计总体众数.
下面我们来看看样本的中位数是多少?对50个数据进行排序从小到大如下：
149.0 151.0 155.0 155.0 155.0 155.0 155.5 156.0 156.0 156.0 156.0 157.0 157.0 158.0 158.0 158.0 158.0 158.0 160.0 160.0 161.0 161.5 162.0 162.0 164.0 164.5 165.0 165.0 165.0 166.0 166.0 168.0 168.5 169.0 170.0 171.0 171.0 171.0 171.0 172.0 173.0 173.0 174.0 175.0 175.0 176.0 176.0 176.0 177.0 183.0
样本中位数是164.25，与样本平均数164.3差距不大.说明样本数据分布比较对称.
158出现了5次，155、156、171出现了4次.为什么样本众数与样本平均数和样本中位数不一样呢?是因为男生和女生的身高有明显差异.
样本均值的加权平均数形式：
总体均值的定义：
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…YN，则称
为总体均值（population），又称总体平均数.
同理总体均值的加权平均数形式：
样本平均数与总体平均数的关系：
以树人中学高一年级的平均身高为例：小明想考察一下简单随机抽样的估计效果.他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的身高为165.0cm.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量是50和100的样本各10个，分别计算出平均数，如下表：
抽样序号
12345678910
样本量为50的平均数165.2162.8164.4164.4165.6164.8165.3164.7165.7165.0
样本量为100的平均数164.4165.0164.7164.9164.6164.9165.1165.2165.1165.2
问题1：每个样本平均数是否相同?
多数平均数彼此不相同.
问题2：样本平均数不相同的原因是什么?
抽样的随机性.
问题3：样本平均数与总体平均数有什么关系?
除了样本量为50的第2个样本外，其他样本的平均数偏离总体平均数都不超过1cm，也就是说大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近小幅波动.
问题4：样本量不同对样本平均数有没有影响?
从整体看：样本量大的波动的幅度小于样本量小的波动幅度.从估计的角度来看，一般样本量大的估计效果要好于样本量小的.这反映了一定的统计规律.从估计的角度看，样本量越大，估计效果越好.
问题5：如何提高总体平均数的估计效果呢?
增加样本量，或者增加抽样次数.
问题6：产生极端数据的原因是什么?
样本的代表性不好，抽取到“矮个子”较多.
小结：样本平均数在总体平均数附近波动；通过增加样本量和增加抽样次数可以提高估计效果，但同时成本也会增加..
用样本均值估计总体均值
样本均值的定义
样本平均数，中位数，众数之间的关系及其反映的数据分布信息
总体均值的定义
样本平均数和总体平均数的关系
课堂练习课堂练习1
1、立德中学高一有20个班，为了了解该年级男生的体质健康状况，其中男生引体向上项目抽查了2班和12班两个班的成绩，观测值如下表，试估计该校高一年级男生引体向上成绩（个数）.
45678910
2班0023636
12班1011755
样本中40名同学的平均引体向上的个数，也就是
所以估计总体平均数为8.4左右.
2.下列命题正确的是（ C ）
（A）简单随机抽样时，样本量相同，则样本平均数就相同；
（B）简单随机抽样一定能够保证样本具有代表性；
（C）增加样本量，可以提高估计效果；
（D）在简单随机抽样时，应该让样本量尽量大.
分析：A、同样的样本量，随着抽样的不同，样本就很可能不一样，所以样本的平均数一般也不相同；此选项错误.
B、简单随机抽样虽然能够保证每个个体被抽到的可能性相等，但是，也可能产生样本比较极端、不具有代表性的情况；此选项错误.
C、一般情况下，样本量越大，估计的效果越好；此选项正确.
D、样本量越大，估计的效果也越好，但是，同时耗费的人力物力也越多.所以并不是样本量越大就越好.如果能保证样本具有好的代表性，并不一定要很大的样本量.此选项错误.
样本均值估计总体均值的应用：
我们来看这样一个问题：眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要.树人中学在“全国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎样做?
在这个问题中，全校学生构成调查的总体，每一个学生是个体，学生的视力是考察的变量.为了便于问题的描述，我们记“视力不低于5.0”为1，“视力低于5.0”为0，则第i （i=1， 2，…，2174） 个学生的视力变量值为
于是，在全校学生中，“视力不低于5.0”的人数就是Y1+Y2+…+Y2174.可以发现，在总体中，“视力不低于5.0”的人数所占的比例P就是学生视力变量的总体平均数
类似地，若抽取容量为n的样本，把它们的视力变量值分别记为y1，y2，…，yn，则在样本中，“视力不低于5.0”的人数所占的比例p就是学生视力变量的样本平均数
我们可以用样本平均数估计总体平均数，用样本的比例p估计总体中的比例P.举例：
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
由样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为
由此，我们估计在树人中学全体学生中，“视力不低于5.0”的比例约为0.54
小结：这个问题看似是一个用样本比例估计总体比例的问题，实际上我们使用了一个常见的0—1变换，将比例问题转化为平均数的问题.
加强对样本均值的加权平均数形式的理解
加强对样本平均数与总体平均数关系的理解
用样本平均数估计总体平均数的应用
总结简单随机抽样的步骤：
（1）将总体的所有N个个体从1到N编号；
（2）在1～N的编号中随机产生n个编号；
（3）将产生的编号所对应的n个个体作为样本.
简单随机抽样的优缺点：
优点：简单易行；
缺点：总体很大时操作麻烦，效果不好.
简单随机抽样的应用：
是其他抽样的基础，与其他抽样方法组合使用.
样本均值估计总体均值的特点：
（1）规律性：样本平均数围绕总体平均数小幅波动，样本量越大，估计效果越好；
（2）随机性：不同的抽样得到的样本平均数不相同.
数学思想方法：样本估计总体的思想
利用样本估计总体，是对同类事物的由此及彼式的认识方法.使用样本估计总体的方法有一个预设：样本与总体具有相同的性质，样本才能代表总体.抽样的核心是样本要具有代表性.总结、归纳、提升
作业1.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ）.
（A）一定为5.5kW·h （B）高于5.5kW·h
（C）低于5.5kW·h （D）约为5.5kW·h
2.已知x1，x2，…，xn，的平均数为，求证：
3.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查.小明调查的样本平均数为166.4，样本量为100；小华调查的样本平均数为164.7，样本量为200.你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计?是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数?说说你的理由.
4.找一组数据作为总体，自行设定样本量，进行多次简单随机抽样.观察样本量对估计总体平均数的影响，并试着解释其中的原因.
巩固
