复习
一.任惫角的三角為敷
1、角的概念的推广y负角q的终边
1、角的概念的推广
y
负角
q的终边
正角
零角
a g (—oo,+oc)
2
2、角度与弧度的互化
X = 360° tt = 180° <
X = 360° tt = 180° <
1 弧度=(—)。a 57.30。= 57。1&
7V
1° =
7V
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90c
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
兀
兀
7
71
71
2
271
3
371
4
5”
~6
71
3兀
2
二正弦，三两切，四余弦平方关系：sin2
二正弦，三两切，四余弦
平方关系：
sin2? + cos2? = l
l + tan2? = sec2 a
l + cot2^ = csc2cif
4、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
商关系：
tan a ? cot a = 1
sin a
fan zy —
I dll Cv —
sina-csca = 1
cosa
cos a ?seca = 1
cosa
cota =
sin a
3、任意角的三角函数定义
定义：
TOC \o "1-5" \h \z ? V X V
sin oc = 一，cos a = —，tan oc — 一 r r x —
r r x
cscoc= —，sec a = —, cot cl ——
y 兀 y
三角函数值的符号：“一全正,
5、诱导公式：
诱导公式是针对竺的各三角函数值的化简
2
口诀为:”奇变偶不变符号看象限'(即把&看作是锐角) 呪
例：sin(——a)= -COSOf
2
cos 一 sina
sin(^-a)= sin Of
cos（7i-a）=-cosa
二.鬲角和鸟差的三角窗叙
1、 预备知识：两点间距离公式
I Pl 〃2 1= J（兀1一吃尸+①―儿）2
pCWi)y卩2（%2』
pCWi)
y
卩2（%2』2
o :
) gl」2)
cos? 土 /3) = coscir cos+ sin of sin 0 sin(a±0) = sinacos0±cosasin 0 tan(cif ± 0)=
注：公式的逆用 及变形的应用tan of ± tan /?1 干 tana tan0tana + tan 0 二
注：公式的逆用 及变形的应用
tan of ± tan /?
1 干 tana tan0
22
2
2
3、倍角公式
sinN = 2sinacosa
2 ? 2 1 ? 2 cos a + sin a = l
cos2€Z = cos a-sin a i 匚
=2cos l + cos2acos a =
l + cos2a
cos a =
tan la =
tan la =
2 tan a
l-tan2 a
注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幕的过程。特别
.2 l-cos2a sin a
三.三角為叙的團彖和徃质
1、正弦、余弦函数的图象与性质
y=sinx
y=cosx
图象
i
1
，y
ZN /
i
7
o 1
/ 2
° 2〃 X
2
定义域
R
R
值域
[-1,1]
卜 1, 1]
性
周期性
T=27T
T=2^
奇偶性
奇函数
偶函数
质
单调性
[2k7T --
2
[2k7T + -
2
】,2后+兰］增函数
2 ,2炽+近］减函数
2
\2k7i - 7i ,2kji]增函数
[2k7i,2k7i +刃减函数
图象向左（0>0 ）或(A>0, 0) >0 )y = sin（x + 0）1 横坐标伸长
图象向左（0>0 ）或
(A>0, 0) >0 )
y = sin（x + 0）
1 横坐标伸长（0<co< 1）或缩短⑷>1）到原来的万倍
> y = sin（6?K + ^）
y=smx向右（°<0）平移|（P|个单位
纵坐标不变
纵坐标伸长（A>1 ）或缩短（0<A<l ）到原来的A倍 y = Asin（6K + 0）
第二种变换：横坐标不变 _ 丄
纵坐标不变图象向左（0>0 ）或 Li ? y = sin（（7K + 69） 向右（0 v
纵坐标不变
图象向左（0>0 ）或 Li ? y = sin（（7K + 69） 向右（0 v 0）平移回个单位
co
纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<l ）到原来的A倍 歹=人$询（炉+卩）
横坐标不变
4
4、已知三角函数值求角
⑴反三角函数
y=sinx ,兀 e的反函数 y=arcsinx ,xe[-U] y=cosx, x g[0,7t]的反函数y=arccosx, y=tanx, xe(-p^)的反函数y =arctanx, X E R ⑵已知角
⑴反三角函数
y=sinx ,兀 e
先确定x是第几象限角
若X的三角函数值为正的，求出对应的锐角兀1；若X的三角函数
值为负的，求出与其绝对值对应的锐角旺 [I
根据X是第几象限角，求出X
若X为第二象限角，即得X二兀-州；若X为第三象限角，即得 x= Tr + jq；若x为第四象限角，即Wx= - Xj
?^xeR ,则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。
四、空要軀型
例已知a是第三象限角，且cosa = -丄，求tana。
3
解：丁。为第三象限角
=2V2sin a
=2V2
/. tana =
cosa
应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系;
角军：（1）3sina + cosa
3sina + cosa
3 tana+ 1
3x2 + 1
7
COSdf
2sina — cosa
2sina — cosa
2tana — l
2x2-1—
3
COSG
(2)
sinacosa =
sinacosa
sinacosa
tana
! — ? 2 2
1 sin a + cos a
tan2 a + 1
⑵ sinacosa
例 2：已知
例 2：已知 tan a = 2,计算⑴'sino + cosa
2sinof — cosa
_22+l_5
应用：关于sina与cosa的齐次式
例3：已矢口 sin(a +丁)= ],cos0 +丁)=石，且a
例3：已矢口 sin(a +丁)= ],cos0 +丁)=石，且a g e (0^—),
、 4 5 4 13 4 4 4
求 sin(a + 0)
解：sin(a + 0) = — cos
TOC \o "1-5" \h \z 2 7T 71 71 77
=一 [cos@ ——)cos0 ——)_sin(a ——)sin(0 ——)] 4 4 4 4
?/ sin(cif+ —) = °,且a e (―，^) /. cos^z + —)=
4 5 4 4 4 5
cos(J3 + —) = — ,且0 e (0, —sin(0 + —) = —
上式=一（一）5 3 x13 556
上式=一（一）
5 3
x
13 5
56
65
应用：找出已知角与未知角之间的关系
2 cos2 sin <9-1
的值= _V2 ~2彳列4： 已矢口 tan20
的值
= _V2
~2
2 V^sin(O + f)
*.* tan 20 = —2V2,即 2“11? = —2V2 /. tan0 = 或tan0
l-tan2(9
2^ e (—, 7i) :. 0 w (Z ?).tan 9 = 41
2 4 2
cos0 — sin&cosO + sinP2cos2 —-sin^-1 a ?
cos0 — sin&
cosO + sinP
2 cos& — sin&
V2 sin(& + -) V2 sin(6> + -)
4 4
1-伽<9 =5^5-3
1 + tan 0
应用：化简求值
