高一数学教案设计：《圆锥曲线问题的探究与发现》
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一、问题导入，引发探究
师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：
两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗?
二、实验探究，交流发现
探究1：卵之由来——椭圆的形成
（1） 单个定椭圆的形成
椭圆的定义：平面内到两定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。（即若平面内的动点 到两定点 、 的距离之和等于常数（大于 ），则点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆。）
思考1：如何使 为定值?
（不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段 的延长线上取点 ，使得 ，此时， 为定值则可转化为 为定值。）
思考2：若 为定值，则 点的轨迹是什么?定点 与 点轨迹的位置关系?
（以定点 为圆心， 为半径的圆。由于 > ，则点 在圆内。）
思考3：如何确定点 的位置，使得 ，且 ?
（线段 的中垂线与线段 的交点为点 。）
揭示思路来源：（高中数学选修2-1 P49 7） 如图，圆 的半径为定长 ， 是圆 内一个定点， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线l和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹是什么?为什么?
（设圆 的半径为 ，由椭圆定义， （常数），且 ，所以当点 在圆周上运动时，点 的轨迹是以 为焦点的椭圆。）
图形计算器作图验证：以圆 与定点 所在直线为 轴， 中垂线为 轴建立直角坐标系，设圆半径 ，即圆 ，点 ，则 点轨迹是以以 为焦点的椭圆，椭圆方程 为 。
（2） 单个动椭圆的形成
思考4：构造一种动椭圆的方式
（由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长 为定值，则 也要为定值，因此可将圆内点 取在圆 的同心圆 上，当点 在圆 上动时，即可得到动椭圆。）
图形计算器作图验证：当圆内动点 取在圆 的同心圆 上，运动点 ，即得到动椭圆。
（3） 两个椭圆的形成
观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴 对称，且直线 过两椭圆公共点，所以直线 为两椭圆的公切线。
因而找到公切线 ，作椭圆 关于切线 的对称椭圆 即可。
探究2：卵之所依——切线的判断与证明
线段 的垂直平分线 与椭圆的位置关系
