初三数学上册第一次月考试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1.方程x2+2x-4=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ▲ ）
A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4
2.已知在Rt△ABC中，∠C=90，sinA= 35，则tanB的值为（ ▲ ）
A.43 B.45 C.54 D.34
3. 在 中， ，如果把 的各边的长都缩小为原 来的 ，则 的正切值 （ ▲ ）
A.缩小为原 来的 B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的 D.没有变化
4.方程y2-y+ =0的两根的情况是（ ▲ ）
A.没有实数根； B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.不能确定
5. 如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是（ ▲ ）
A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4
6.如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ ACB；③ ；
④AC2=AD •AB.其中能够单独判定△ABC∽△ACD的条件个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.方程 的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（ ）
8.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的一个根，
则这个三角形的周长是（ ）
A.9 B.11 C.13 D.11或13
9.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为 元，则原价是（ ）
A. 元 B. 1.2 元 C. 元 D. 0.82 元
10.如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点
A（0，1），过点P（0，-7）的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有
可能的整数值有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）
11.已知x=m是方程x2-2x-3=0的一个解，则代数式m2-2m的值为
12.如图，在△ABC中，DE∥BC，若 ，DE=4，则BC=
13.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为
14.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，如果AB=2，那么AP的长为
15.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28 场比赛，若设参赛球队的个数是x，则列出方程为
16.如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是__▲___米.
17.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线
AC对称，若DM=1，则tan∠ADN=
18.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为
点B′，折痕为EF.已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角
形与△ABC相似，则BF=___▲__.
三、解答题：
19.（本题8分）计算：
（1） （-12）−1-12+4cos30°−3−2 （2）
20.（本题8分）解方程：
（1） （2）
21.（本题满分6分）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点△ABC，已知A、B、C三点的坐标分别是A（1，0）、B（2，-1）、C（3，1）.
（1） 请在网格图形中画出平面直角坐标系；
（2） 以原点O为位似中心，将△ABC放大2倍，画出放大后的△A′B′C′；
（3） 写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′____，B′____，C′ ___；
22.（本题满分8分）如图 ，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米.
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶
端E距离地面多少米?
（参考数据：tan400=0.84， sin400=0.64， cos400= ）
23. （本题满分6分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，
E为AB中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）若AD=4，AB=6，求 的值.
24.（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， .
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若 ，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（4，5），并说明理由.
25. （本题满分8分）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟.若返
回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返
回，结果比去时少用2.5分钟.
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过
程不休息）.据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步
行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻
炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热
量就增加1卡路里.测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里
热量.问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟?
26. （本题满分10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，
∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC= .
（1）写出点B的坐标；
（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并
求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，
问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似?如存在，请求出的m值；
如不存在，请说明理由.
27. （本题满分12分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm.点P从
B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称
点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当
点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，PQ∥BC?
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；并说明四边形PQCB
面积能否是△ABC面积的 ?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形?（直接写出结果）
28.（本题满分12分）已知Rt△ABC中，AC=BC=2.一直角的顶点P在AB上滑动，
直角的两边分别交线段AC，BC于E.F两点
（1）当 = 且PE⊥AC时，求证： = ；
（2）当 =1时（1）的结论是否仍然成立? 为什么?
（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕 点P旋转，设∠BPF=α（0°<α<90°）.连结EF，当△CEF的周长等于2+ 时，请直接写出α的度数.
初三数学上册第一次月考试题答案
一、 选择题（10小题，每题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A D C D C B C A C
二、 填空题（每空2分，共16分）
11 12 13 14 15 16 17 18
3 12 1+
﹣1 =28 5.6 或2
三、解答题：（共84分）
19.（每题4分，共8分）
（1）—4+ （2）3+
20.（每题4分，共8分）
（1） ； （2）3、-1；
21. （本题满分6分）
解：（1）1分；（2）2分；（3）A′（-2，0），B′（-4，2），C′（-6，-2）各1分；
22. （本题满分8分）
解：（1）在Rt△BCD中， ，
∴ ≈6.7；（3分）
（2）在Rt△BCD中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2.（4分）
过E作AB的垂线，垂足为F，
在Rt△AFE中，AE=1.6，∠EAF=180°﹣120° =60°，
AF= =0.8（6分）
∴FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米.（7分）
答：钢缆CD的长 度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米.（8分）
23. （本题满分6分）
（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB•AD； （3分）
（2）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE= AB，
∴CE= ×6=3，
∵AD=4，
∴ ，
∴ . （6分）
24. （本题满分6分）
解：（1）∵△=（m+6）2﹣4（3m+9）=m2+12m+36﹣12m﹣36=m2≥0，（2分）
∴该一元二次方程总有两个实数根； （3分）
（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）；（4分）
理由：
∵x1+x2=m+6，n=x1+x2﹣5，
∴n=m+1， （5分）
∵当m=4时，n=5，
∴动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）.（6分）
25、（本题满分8分）
解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：
， （2分）
解得x=1800.
答：A、B两地间的路程为1800米； （4分）
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904， （6分）
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y1=52，y2=﹣2（舍去）.
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟. （8分 ）
26.（本题满分10分）
解：（1）B（1，3）， （1分）
（2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC= ，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ ，
∴OD=OC+CD=1+ = ，
∴D（ ，0）； （4分）
（3）这样的m存在.
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，
则 = ，
解得m= ， （6分）
如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则 = ，
解得m= . （9分）
故存在m的值是 或 时，使得△APQ与△ADB相似.（10分）
27、（本题满分12分）
解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm.
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB﹣BP=10﹣t.
∵PQ∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
解得t= ； （2分）
（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ= AC•BC﹣ AP•AQ•sinA
∴y= ×6×8﹣ ×（10﹣2t）•2t•
=24﹣ t（10﹣2t）
= t2﹣8t+24，
即y关于t的函数关系式为y= t2﹣8t+24；（4分）
四边形PQCB面积能是△ABC面积的 ，理由如下：
由题意，得 t2﹣8t+24= ×24，
整理，得t2﹣10t+12=0，
解得t1=5﹣ ，t2=5+ （不合题意舍去）.
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的 ，此时t的值为5﹣ ；（6分）
（3）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t= ； （8分）
②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）× =t，解得t= ； （10分）
③如果QA=QE，那么2t× =5﹣t，解得t= .
故当t为 秒 秒 秒时，△AEQ为等腰三角形. （12分）
28.（本题满分12分）
解：（1）如图1，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠PEC=90°.
又∵∠EPF=∠ACB=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴∠PFC=90°，
∴∠PFB=90°，
∴∠AEP=∠PFB.
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，
∴PF=BF， = ，
∴ = = ； （3分）
（2）（1）的结论不成立，理由如下：
连接PC，如图2.
∵ =1，
∴点P是AB的中点.
又 ∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CP=AP= AB.∠ACP=∠BCP= ∠ACB=45°，CP⊥AB，
∴∠APE+∠CPE=90°.
∵∠CPF+∠CPE=90°，
∴∠APE=∠CPF.
在△APE和△CPF中，
∴△APE≌△CPF，
∴AE=CF，PE=PF.
故（1）中的结论 = 不成立； （6分）
（3）当△CEF的周长等于2+ 时，α的度数为75°或15°.
提示：在（2）的条件下，可得AE=CF（已证），
∴EC+CF=EC+AE=AC=2.
∵EC+CF+EF=2+ ，
∴EF= .
设CF=x，则有CE=2﹣x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2=（ ）2，
整理得 ：3x2﹣6x+2=0，
解得：x1= ，x2= .
①若CF= ，如图3，
过点P作PH⊥BC于H，
易得PH=HB=CH=1，FH=1﹣ = ，
在Rt△PHF中，tan∠FPH= = ，
∴∠FPH=30°，
∴α=∠FPB=30+45°=75°； （9分）
②若CF= ，如图4，
过点P作PG⊥AC于G，
同理可得：∠APE=75°，
∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°. （12分）
