抛物线是中考数学中的倒数第三题，也被成为第一道压轴题，在压轴题中，难度较低，但综合上来说，要难于之前任何一道解答题，题目主要涉及到对称轴思想，临界思想，或是与直线结合计算，所以首先要求学生自己能够熟练每一种抛物线的大体图形央视，解析式含义，隐含条件，如与x轴无交点、一个交点、两交点、开口方向等。
例1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1
（1）若a=1.
① 当m=b时，求x1，x2的值.
② 将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程.
（2）若存在实数c，使得x1⩽c−1，且x2⩾c+7成立，则m的取值范围_________
答案
（1）① x1=0，x2=2.
② 将原抛物线向下平移4个单位
（2）m⩾16
解析
（1）①
∵抛物线y=x2−2ax+b的顶点在x轴上，
∴ =0.
∴b=a2.
∵a=1，∴b=1.
∴抛物线的解析式为y=x2−2x+1.
∵m=b=1，
∴x2−2x+1=1，
解得x1=0，x2=2
②依题意，设平移后的抛物线为y=（x−1）2+k.
∵抛物线的对称轴是x=1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，
∴（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点.
∴（3−1）2+k=0，即k=−4.
∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位.
（2）m⩾16
例2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（−3，1），B（−1，1），C（m，n），其中n>1，以点A，B，C为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D1，D2，D3，如图所示.
（1）若m=−1，n=3，则点D1，D2，D3的坐标分别是（____），（____），（____）.
（2）是否存在点C，使得点A，B，D1，D2，D3在同一条抛物线上?若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.
答案
（1）1.（−3，3） 2.（1，3） 3.（−3，−1）
（2）不存在
解析
（1）1.（−3，3） 2.（1，3） 3.（−3，−1）
（2）不存在.理由如下：
假设满足条件的C点存在，即A，B，D1，D2，D3在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线x=−2即为这条抛物线的对称轴，而D1，D2在直线y=n上，则D1D2的中点C也在抛物线对称轴上，故m=−2，即点C的坐标为（−2，n）.
由题意得：D1（−4，n），D2（0，n），D3（−2，2−n）.注意到D3在抛物线的对称轴上，故D3为抛物线的顶点.设抛物线的表达式是y=a（x+2）2+2−n.
当x=−1时，y=1，代入得a=n−1.
所以y=（n−1）（x+2）2+2−n.
令x=0，得y=4（n−1）+2−n=3n−2=n，解得n=1，与n>1矛盾.所以不存在满足条件的C点.
