初三上册数学期末测试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2+2x=0的根是（ ）
A.x=0或x=﹣2 B.x=0或x=2 C.x=0 D.x=﹣2
3.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
4.袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A.（1，2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，2） D.（﹣1，﹣2）
6.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A.y=（x+3）2﹣1 B.y=（x+3）2+3 C.y=（x﹣3）2﹣1 D.y=（x﹣3）2+3
7.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A.160° B.150° C.140° D.120°
8.一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.有两个实数根
9.下列命题中，不正确的是（ ）
A.垂直平分弦的直线经过圆心
B.平分弦的直径一定垂直于弦
C.平行弦所夹的两条弧相等
D.垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c<0；②a﹣b+c<0；③b+2a<0；④abc>0.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11.口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 .
12.若x=3是一元二次方程x2+mx+6=0的一个解，则方程的另一个解是 .
13.如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为 cm.
14.扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径为 cm.
15.如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 m，才能使喷出的水流不至落到池外.
三、解答题（共9小题，满分75分）
16.用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12=0；
（2）5x2﹣3x=x+1.
17.已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0，
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和.
18.在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同.小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球.若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢.这个游戏规则对双方公平吗?请你用树状图或列表法说明理由.
19.在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6.
①试作出△ABC以B为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△BA1C1；
②若点A的坐标为（﹣3，4），试建立合适的直角坐标系，并写出B，C两点的坐标.
20.已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6.
（1）用配方法将y=2x2﹣4x﹣6化为y=a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减少?
（4）当x取何值时，y=0，y>0，y<0；
（5）当0
21.如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°，解答下列各题：
（1）求线段AB的长及⊙C的半径；
（2）求B点坐标及圆心C的坐标.
22.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长.
23.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个.根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个.假设每个降价x（元），每天销售量y（个），每天获得最大利润W（元）.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）6000元是否为每天销售这种商品的最大利润?如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时这种商品的销售价应定为多少元?
24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4.
（1）求抛物线的表达式及a的值；
（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），如果直线DP与图象G恰好有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围.
（3）抛物线上有一个动点Q，当点Q在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△QAB=12，并求出此时Q点的坐标.
初三上册数学期末测试卷参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A. B. C. D.
【考点】生活中的旋转现象.
【专题】操作型.
【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案.
【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是C.
故选：C.
【点评】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变.
2.一元二次方程x2+2x=0的根是（ ）
A.x=0或x=﹣2 B.x=0或x=2 C.x=0 D.x=﹣2
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】首先提取公因式x可得x（x+2）=0，然后解一元一次方程x=0或x+2=0，据此选择正确选项.
【解答】解：∵x2+2x=0，
∴x（x+2）=0，
∴x=0或x+2=0，
∴x1=0或x2=﹣2，
故选A.
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题要掌握因式分解法解方程的步骤，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，此题难度不大.
3.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
【考点】一元二次方程的解.
【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解.
【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1.
故选B.
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0.
4.袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【考点】概率公式.
【分析】由袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：∵袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球，
∴任意摸出一个球是红球的概率是： .
故选B.
【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
5.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A.（1，2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，2） D.（﹣1，﹣2）
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可.
【解答】解：y=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）.
故选A.
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键.
6.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A.y=（x+3）2﹣1 B.y=（x+3）2+3 C.y=（x﹣3）2﹣1 D.y=（x﹣3）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式.
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，
故选：C.
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点.
7.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A.160° B.150° C.140° D.120°
【考点】圆周角定理；垂径定理.
【专题】压轴题.
【分析】利用垂径定理得出 = ，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案.
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴ = ，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°.
故选：C.
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键.
8.一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.有两个实数根
【考点】根的判别式.
【专题】计算题.
【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况.
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+3=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=3，
∴△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8<0，
∴原方程无实数根.
故选A.
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的情况决定一元二次方程根的情况.
9.下列命题中，不正确的是（ ）
A.垂直平分弦的直线经过圆心
B.平分弦的直径一定垂直于弦
C.平行弦所夹的两条弧相等
D.垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【考点】垂径定理.
【分析】根据垂径定理及其推论即可判定B错误，A、D正确，根据圆周角定理的推论可知C正确.
【解答】解：A、根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本答案正确.
B、直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分飞弦不能是直径；故本答案错误.
C、如图所示，两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确.
D、根据垂径定理可知，垂直于弦的直径必平分弦所对的弧；故本选项正确.
故选B.
【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c<0；②a﹣b+c<0；③b+2a<0；④abc>0.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【专题】压轴题.
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【解答】解：①当x=1时，结合图象y=a+b+c<0，故此选项正确；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显小于﹣1，∴y=a﹣b+c>0，故本选项错误；
③由抛物线的开口向上知a>0，
∵对称轴为1>x=﹣ >0，
∴2a>﹣b，
即2a+b>0，
故本选项错误；
④对称轴为x=﹣ >0，
∴a、b异号，即b<0，
图象与坐标相交于y轴负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，
故本选项正确；
∴正确结论的序号为①④.
故选：C.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数关系，同学们应掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0；否则a<0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣ 判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0；否则c<0；
（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值.
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11.口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 0.3 .
【考点】概率公式.
【专题】压轴题.
【分析】让1减去摸出红球和白球的概率即为所求的概率.
【解答】解：根据概率公式摸出黑球的概率是1﹣0.2﹣0.5=0.3.
【点评】用到的知识点为：各个部分的概率之和为1.
12.若x=3是一元二次方程x2+mx+6=0的一个解，则方程的另一个解是 2 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到3t=6，然后解一次方程即可.
【解答】解：设方程另一根为t，
根据题意得3t=6，
解得t=2.
故答案为2.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= .
13.如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为 8 cm.
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】连接OA，由OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由OA与OC的长，利用勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长.
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC=BC，
在Rt△AOC中，OA=5cm，OC=3cm，
根据勾股定理得：AC= = =4cm，
∴AB=2AC=8cm.
故答案为：8.
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
14.扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径为 24 cm.
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算.
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形= lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长.
【解答】解：∵S扇形= lr
∴120π= •10π•r
∴r=24；
故答案为24.
【点评】本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形= lr.
15.如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不至落到池外.
【考点】二次函数的应用.
【分析】所谓的水池半径即为抛物线与x轴交点的横坐标，设出抛物线方程，代入已知点即可得出结论.
【解答】解：∵M（1，2.25）为抛物线的顶点，
∴设抛物线方程为：y=a（x﹣1）2+2.25，
∵点A（0，1.25）为抛物线上的一个点，
∴1.25=a（0﹣1）2+2.25，
解得：a=﹣1，
∴抛物线方程为：y=﹣（x﹣1）2+2.25，
将y=0代入抛物线方程得：0=﹣（x﹣1）2+2.25，
解得：x1=2.5，x2=﹣0.5（舍去），
故答案为：2.5.
【点评】本题考查的是抛物线方程得顶点式的运用，解题的关键是明白所求的半径为抛物线与x轴正半轴的交点坐标.
三、解答题（共9小题，满分75分）
16.用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12=0；
（2）5x2﹣3x=x+1.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】（1）分解因式得出（x﹣6）（x+2）=0，推出方程x﹣6=0，x+2=0，求出方程的解即可；
（2）首先把方程化成一般形式，然后把方程的左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解.
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣12=0，
∴（x﹣6）（x+2）=0，
∴x﹣6=0或x+2=0，
∴x1=6，x2=﹣2；
（2）∵5x2﹣3x=x+1，
∴5x2﹣4x﹣1=0，
∴（5x+1）（x﹣1）=0，
∴x1=1，x2=﹣ .
【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.
17.已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0，
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和.
【考点】根的判别式；根与系数的关系.
【专题】计算题；压轴题；判别式法.
【分析】（1）要使原方程没有实数根，只需△<0即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围；
（2）根据（1）中求得的范围，在范围之外确定一个m的值，再根据根与系数的关系求得两根的平方和.
【解答】解：（1）∵方程没有实数根
∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4<0，
∴ ，
∴当 时，原方程没有实数根；
（2）由（1）可知， 时，方程有实数根，
∴当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0，
设此时方程的两根分别为x1，x2，
则x1+x2=4，x1•x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16﹣2=14，
∴当m=1时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14.
【点评】此题要求学生能够用根的判别式求解字母的取值范围，熟练运用根与系数的关系求关于两个根的一些代数式的值.
18.在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同.小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球.若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢.这个游戏规则对双方公平吗?请你用树状图或列表法说明理由.
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法.
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.
【解答】解：如表所示：
第2次
第1次 红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
由上述树状图或表格知：
P（小明赢）= ，P（小亮赢）= .
∴此游戏对双方不公平，小明赢的可能性大.
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
19.在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6.
①试作出△ABC以B为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△BA1C1；
②若点A的坐标为（﹣3，4），试建立合适的直角坐标系，并写出B，C两点的坐标.
【考点】作图-旋转变换.
【分析】①根据图形旋转的性质画出△BA1C1即可；
②由点A的坐标为（﹣3，4），试建立合适的直角坐标系，根据点B、C在坐标系中的位置写出各点坐标即可.
【解答】解：①如图所示；
②由图可知，B（0，﹣2），C（﹣3，﹣2）.
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键.
20.已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6.
（1）用配方法将y=2x2﹣4x﹣6化为y=a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减少?
（4）当x取何值时，y=0，y>0，y<0；
（5）当0
【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数的性质.
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数顶点坐标和对称轴得出答案；
（2）利用（1）中所求进而画出函数图象；
（3）直接利用函数图象得出增减性；
（4）利用函数图象得出y>0，y<0时对应x的取值范围；
（5）直接利用二次函数增减性以及结合极值法求出y的取值范围.
【解答】解：（1）由题意可得：
y=2x2﹣4x﹣6=2（x﹣1）2﹣8，
对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，﹣8）；
（2）如图所示：
（3）当x<1时，y随x的增大而减少；
（4）当y=0时，
则0=2x2﹣4x﹣6，
解得：x1=1，x2=﹣3，
当y>0时，x<﹣1或x>3，
当y<0时，﹣1
（5）当0
当x=1，y=﹣8，当x=4，y=10
则y的取值范围为：﹣8≤y<10.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标，正确画出函数图象是解题关键.
21.如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°，解答下列各题：
（1）求线段AB的长及⊙C的半径；
（2）求B点坐标及圆心C的坐标.
【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理.
【分析】（1）连接AB；由圆周角定理可知，AB必为⊙C的直径；Rt△ABO中，易知OA的长，而∠OAB=∠ODB=60°，通过解直角三角形，即可求得斜边AB的长，也就求得了⊙C的半径；
（2）在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的长，进而可得到B点的坐标；过C分别作弦OA、OB的垂线，设垂足为E、F；根据垂径定理即可求出OE、OF的长，也就得到了圆心C的坐标.
【解答】解：（1）连接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直径，∠OBA=30°；
∴AB=2OA=4，∴⊙C的半径r=2；
（2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2+OA2=AB2，
∴OB= ，∴B的坐标为：（ ，0）
过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂径定理得：OE=AE=1，OF=BF= ，
∴CE= ，CF=1，
∴C的坐标为（ ，1）.
【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、点的坐标意义、勾股定理等知识的综合应用能力，综合性较强，难度适中.
22.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长.
【考点】切线的判定；圆周角定理.
【专题】计算题；证明题.
【分析】（1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线，故可得AB=AC；
（2）连接OD，由平行线的性质，易得OD⊥DE，且DE过圆周上一点D故DE为⊙O的切线；
（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得AB=BC=10，CD= BC=5；又∠C=60°，借助三角函数的定义，可得答案.
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∵BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线.
∴AB=AC.
（2）证明：连接OD，
∵点O、D分别是AB、BC的中点，
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.
∴DE为⊙O的切线.
（3）解：由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB=BC=10，CD= BC=5.
∵∠C=60°，
∴DE=CD•sin60°= .
【点评】本题考查切线的判定，线段相等的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题.
23.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个.根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个.假设每个降价x（元），每天销售量y（个），每天获得最大利润W（元）.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）6000元是否为每天销售这种商品的最大利润?如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时这种商品的销售价应定为多少元?
【考点】二次函数的应用.
【分析】（1）易求；（2）先求利润表达式，再运用性质求解.
【解答】解：由题意得：
（1）y=300+20x
（2）W=（60﹣x﹣40）=（20﹣x）
=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣ ）2+6125
其中，0≤x≤20
当x= 时，W有最大值，最大值是6125.
∵6000<6125，6000不是最大利润，
∴60﹣2.5=57.5，销售价应定为57.5元.
【点评】此题的重点在于求利润的函数表达式，认真审题很重要，自变量x的取值范围不要忽视.
24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4.
（1）求抛物线的表达式及a的值；
（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），如果直线DP与图象G恰好有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围.
（3）抛物线上有一个动点Q，当点Q在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△QAB=12，并求出此时Q点的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】（1）根据A和B的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式和a的值；
（2）首先求出直线CD的表达式和直线BD的表达式，然后求得直线BD与x轴的交点，根据图象即可确定；
（3）首先求得AB的长，根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高，从而求得Q的纵坐标，然后代入二次函数解析式求得Q的横坐标即可.
【解答】解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n过点A（﹣1，a ），B（3，a），
∴抛物线的对称轴x=1.
∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，
∴抛物线的顶点是（1，﹣4）.
∴抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2﹣4，
即y=2x2﹣4x﹣2.
把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式y=2x2﹣4x﹣2，则a=4；
（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y轴的对称点为点D，
∴D（﹣1，﹣4）.
求出直线CD的表达式为y=﹣4.
B的坐标是（3，4），设BD的解析式是y=kx+b，
则 ，
解得： ，
则直线BD的表达式为y=2x﹣2，当x=1时，y=0.
所以﹣4
（3）存在点Q，使△QAB的面积等于12，
AB=3﹣（﹣1）=4，
设P到AB的距离是d，则 ×4d=12，
解得：d=6，
则Q的纵坐标是4﹣6=﹣2，或4+6=10.
当Q的纵坐标是﹣2时，在y=2x2﹣4x﹣2中令y=﹣2，则2x2﹣4x=0，
解得：x=0或2，
则Q的坐标是（0，﹣2）或（2，﹣2）；
当Q的坐标是10时，在y=2x2﹣4x﹣2中令y=﹣2，则2x2﹣4x﹣2=10，
解得：x=1+ 或1﹣ ，
则Q的坐标是（1+ ，10）或（1﹣ ，10）.
总之，Q的坐标是：（0，﹣2）或（2，﹣2）或（1+ ，10）或（1﹣ ，10）.
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式确定Q的纵坐标是关键.
